▪ Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Αρχιμήδης" (junior) 2000

1. Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να αποδείξετε ότι

Πότε ισχύει η ισότητα;

2. Οι αριθμοί είναι ακέραιοι.

α) Να βρεθούν τα ζεύγη που επαληθεύουν την εξίσωση

  

β) Από τα ζεύγη που θα βρείτε να προσδιορίσετε εκείνα που ικανοποιούν την εξίσωση

3. Έχουμε να ζυγίσουμε σώματα διαφορετικού βάρους με μία ζυγαριά χωρίς σταθμά, δηλαδή με αυτήν μπορούμε μόνο να συγκρίνουμε τα βάρη δύο σωμάτων.

α) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ζυγίσεων που πρέπει να κάνουμε για να προσδιορίσουμε το βαρύτερο σώμα;

β) Πόσες επιπλέον ζυγίσεις θα χρειαστούμε για να προσδιορίσουμε το δεύτερο σε βάρος σώμα;

4. Θεωρούμε τρίγωνο και φέρουμε το ύψος και τις διχοτόμους που τέμνονται στο  Από το φέρουμε την κάθετη προς την . Επιπλέον φέρουμε την ευθεία κάθετη στην . H προέκταση της τέμνει την στο  Nα αποδείξετε ότι

Πηγή: mathematica (socrates)