▪ Εξίσωση κύκλου

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου $C$ που διέρχεται από τα σημεία τομής των κύκλων 

$C_1 : x^2 + y^2 – 2x – 3 = 0$

         $C_2 : x^2 + y^2 – 4x – 4y + 7 = 0$ 

και έχει το κέντρο του στην ευθεία  $3x + 4y – 1 = 0$. 

Λύση

Η κοινή χορδή των κύκλων $C_1$ και $C_2$ είναι:
$C_1 – C_2$ : $x^2 + y^2 – 2x – 3 – (x^2 + y^2 – 4x – 4y + 7) =0$
$L$ : $2x + 4y –10 = 0$

Οπότε το σύστημα των δύο κύκλων $C_1$ and $C_2$ είναι ισοδύναμο με το σύστημα των εξισώσεων του κύκλου $C_1$ και της ευθείας $L$. Έχουμε:

$C_1 + kL$
$C$: $x^2 + y^2 – 2x – 3 + k(2x + 4y –10) = 0$
$x^2 + y^2 + (2k – 2)x + 4ky – 3 – 10k = 0$
Το κέντρο του κύκλου $C$ είναι $(1 – k, -2k)$.
Το κέντρο του κύκλου ανήκει στην ευθεία $3x + 4y – 1 = 0$, οπότε έχουμε:

$3(1-k) + 4(-2k) – 1 = 0$

$k = 2/11$.

Για $k = 2/11$ έχουμε:

$C$  : $x^2 + y^2 – 2x – 3 + (2/11) (2x + 4y –10) = 0$
$11(x^2 + y^2 – 2x – 3) + 2(2x + 4y –10) = 0$
$11x^2 + 11y^2 – 18x + 8y – 53 = 0$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com