Παρασκευή 7 Δεκεμβρίου 2012

▪Πολύχρωμοι κύκλοι

Η ακτίνα των μικρών κύκλων είναι 1. Να βρεθούν οι ακτίνες των άλλων κύκλων.
Αναρτήθηκε από στις 7.12.12
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. Γιώργος Ριζόπουλος7 Δεκεμβρίου 2012 στις 7:30 μ.μ.

    Kαλησπέρα! Συγχαρητήρια για τα μαθηματικά θέματα του ιστολογίου σας.
    Θα κάνω κάποιες γενικεύσεις, ελπίζω ενδιαφέρουσες . Το θέμα των εφαπτόμενων κύκλων είναι πολύ ενδιαφέρον και απαυγάζει και μια διαχρονία στα Μαθηματικά καθώς συνδέει τα αρχαία μαθηματικά (γεωμετρία) με τα πιο σύγχρονα (την αναλυτική γεωμετρία του Ντεκάρτ) και με τα ακόμη πιο σύγχρονα (απειροσειρές και φράκταλς)
    Εξηγούμαι. Ως γνωστόν από την εποχή των αρχαίων μαθηματικών και μηχανικών έχει οριστεί η ακτίνα καμπυλότητας (καταχρηστικά και σκέτο «καμπυλότητα») ενός κύκλου σαν το αντίστροφο της ακτίνας. Κατά συνέπεια, αν ένας κύκλος (στην περίπτωσή μας οι πράσινοι κύκλοι) έχει το μισό μέγεθος ενός άλλου (εδώ του εξωτερικού, μια και προφανώς η διάμετρος του πράσινου είναι η ακτίνα του εξωτερικού) η καμπυλότητα του είναι διπλάσια από την καμπυλότητα του μεγάλου κύκλου.
    Εδώ μπαίνει η σχέση που ανακάλυψε ο Καρτέσιος (Ρενέ Ντεκάρτ) για τέσσερεις αμοιβαία εφαπτόμενους κύκλους (που μας επιτρέπει δεδομένων των καμπυλοτήτων τριών κύκλων να υπολογίσουμε την τέταρτη). Αν έχουμε λοιπόν 4 αμοιβ. εφαπτ. κύκλους με καμπυλότητες(1/ρ) έστω α, β, γ, δ η εξίσωση του Ντεκάρτ λέει :(α^2+β^2+γ^2+δ^2)=(1/2)*(α+β+γ+δ)^2
    Έτσι ,για να έρθουμε και στο πρόβλημα , είναι προφανές ότι οι ζητούμενες ακτίνες, αν ρ η ακτίνα του εξωτερικού κύκλου είναι : για τους πράσινους ρ/2, για τους κίτρινους ρ/3 και για τους μικρούς γαλάζιους ρ/6 . Και εφόσον (ρ/6)=1 άρα ρ=6 . Ή αλλιώς ο λογος των καμπυλοτήτων τους σε φθίνουσα σειρά από τον μεγάλο στους μικρότερους κύκλους, για μοναδιαία καμπυλοτητα έστω 1 του μεγάλου, είναι
    -1 , 2 (πράσινοι), 3 ( κίτρινοι), 6 (γαλάζιοι) Και αν στριμωξουμε άλλον έναν μεταξυ κιτρινου,γαλάζιου και εξωτερικού θα έχει καμπυλότητα D=11 .Δηλαδή η ακτίνα του για μοναδιαίο ρ στον γαλάζιο όπως εδώ θα είναι ρ=6/11. Και ούτω καθεξής .
    Σημείωση γενική:O εξωτερικός κύκλος στο σχήμα έχει καμπυλότητα -1 σε σχέση με τους εσωτερικούς κύκλους. Το πρόσημο – (μείον) δείχνει ότι οι άλλοι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά (και όχι εξωτερικά) στον μεγάλο (περιβάλλοντα) κύκλο).
    Γενικά αν οι καμπυλότητες των τριών αρχικών κύκλων είναι ακέραιοι αριθμοί, η καμπυλότητα κάθε μικρότερου κύκλου είναι επίσης ακέραιος.
    Και για να έρθω στα πολύ σύγχρονα Μαθηματικά, το 2001 ο μαθηματικός Άλαν Γουίλκς (Allan R. Wilks) ανακάλυψε ότι αν ο αρχικός (περιβάλλων) κύκλος σχεδιαστεί ώστε το κέντρο του να βρίσκεται στην αρχή των Καρτεσιανών αξόνων (0,0) ,τα κέντρα όλων των επόμενων κύκλων (που μπορούν να σχεδιάζονται επ’άπειρον δημιουργώντας μια αυτομορφή ή μορφόκλασμα (φράκταλ) ,έχουν συντεταγμένες (χ,ψ) που είναι ρητοί αριθμοί. Επίσης αν Dχ και Dψ οι αντίστοιχες καμπυλότητες για κύκλο (χ,ψ ) αυτές είναι ακέραιες.

    Καλή συνέχεια στα ενδιαφέροντα θέματά σας!

    Γ.Ριζόπουλος Δρ.Πολ.Μηχανικός,Λεμεσός

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Σωκράτης Δ. Ρωμανίδης8 Δεκεμβρίου 2012 στις 1:40 μ.μ.

    κ. Ριζόπουλε, είστε...θησαυρός. Σας ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο σας..

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)