▪ Γ' Λυκείου: 6η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1989-1990

1. Έστω ένας πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς. Ν' αποδειχτεί ότι αν τότε και .

2. Έστω ένα τετράγωνο και τα μέσα των αντίστοιχα.

Αν είναι το κέντρο του τετραγώνου, ν' αποδειχτεί ότι η παράσταση: 

δεν εξαρτάται από την θέση των σημείων (δηλαδή είναι σταθερά).

3. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την σχέση 

 

για κάθε

4. Για κάθε πραγματικό αριθμό συμβολίζουμε με το ακέραιο μέρος του και με το κλασματικό μέρος του , έτσι ώστε .

α) Να βρεθεί ένας τουλάχιστον πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε

.

β) Να βρεθούν όλοι οι ρητοί αριθμοί τέτοιοι ώστε:

  .

Πηγή: mathematica (parmenides51)