Έστω $m,n$ ακέραιοι αριθμοί, τέτοιοι ώστε ο αριθμός $23^{2011}$ να διαιρεί τον $m^2+n^2$. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $23^{2012}$ διαιρεί τον $m\cdot{n}$.
Wisconsin Mathematics, Sience & Engineering Talent Search (20112)
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
m^2+n^2=(m+n)^2-2m*n
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπειδή ο 23^2011 διαιρεί τον m^2+n^2 διαιρεί και τους (m+n)^2, 2m*n.
Επειδή ο 23^2011 είναι περιττός και ο 2m*n άρτιος, συμπεραίνω ότι διαιρεί και τον m*n.
Συνεπώς o m*n=23^2011*23^κ =23^2012*23^κ-1
(κ ακέραιος)
Συνεπώς ο 23^2012 διαιρεί τον m*n.
Στην ακραία περίπτωση που κ=1
m*n=23^2012*23^0= 23^2012*1,
διαιρεί τον εαυτό του με πηλίκο 1.