▪ Η άσκηση του μήνα - Δεκέμβριος 2012

 Του Νίκου Ζανταρίδη                                                            

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,\mathrm{\infty })\to R$ ισχύει $f(1)=0$ και

${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{(e^{hx}-1)[f(x+2h)-f(x)]}{h^2}}$=$2-2f(x)-2f(\frac{1}{x})$

για κάθε $x>0$.

Nα αποδείξετε ότι:

1) $x{f}^{\prime }(x)+f(x)+f(\frac{1}{x})=1$, για κάθε $x>0$
2) $f(x)=lnx$, $x>0$
3) $e^{\frac{x}{x+1}}$$<(1+\frac{1}{x}{)}^x<e$, για κάθε $x>0$
και να βρεθεί το όριο

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x}$

4) α) $f(x)>1-\frac{1}{x}$, για κάθε $x\in R_{+}^{\ast }-\{1\}$

και
β) $(1,03{)}^{1,03}\cdot (0,98{)}^{0,98}\cdot (0,99{)}^{0,99}>1$

5) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της $C_f$ στο σημείο της ${\rm M}(x_0,f(x_0))$ με $x_0>e$, αν το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται από την $C_f$, τον άξονα $x^{\prime }x$, τον άξονα $y^{\prime }y$ και την εφαπτομένη (ε), είναι ${\rm E}(\Omega )=1$ τ.μ.

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Κάντε κλικ εδώ για να το εκτυπώσετε και εδώ για να δείτε τη λύση του Μάκη Χατζόπουλου.