Του Νίκου Ζανταρίδη
Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: (0,\infty)\rightarrow{R}$ ισχύει $f(1)=0$ και
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(e^{hx}-1)[f(x+2h)-f(x)]}{h^2}$=$2-2f(x)-2f(\frac{1}{x})$
για κάθε $x>0$.
Nα αποδείξετε ότι:
1) $xf'(x) + f(x) +f(\frac{1}{x})=1$, για κάθε $x>0$
2) $f(x) =lnx$, $x>0$
3) $e^{\frac{x}{x+1}}$$<(1+\frac{1}{x})^x<e$, για κάθε $x>0$
και να βρεθεί το όριο
2) $f(x) =lnx$, $x>0$
3) $e^{\frac{x}{x+1}}$$<(1+\frac{1}{x})^x<e$, για κάθε $x>0$
και να βρεθεί το όριο
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(1+\frac{1}{x})^x$
4) α) $f(x)>1-\frac{1}{x}$, για κάθε $x\in{R}_{+}^{*}-\{1\}$
και
β) $(1,03)^{1,03}\cdot{(0,98)^{0,98}}\cdot{(0,99)^{0,99}}>1$
β) $(1,03)^{1,03}\cdot{(0,98)^{0,98}}\cdot{(0,99)^{0,99}}>1$
5) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της $C_f $ στο σημείο της $Μ(x_0, f(x_0))$ με $x_0>e$, αν το εμβαδόν του χωρίου $Ω$ που περικλείεται από την $C_f$, τον άξονα $x'x$, τον άξονα $y'y$ και την εφαπτομένη (ε), είναι $Ε(Ω)=1$ τ.μ.
Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου