▪ Β' Λυκείου: Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1985

1. Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν πραγματικοί μη μηδενικοί αριθμοί ώστε οι εξισώσεις:

να έχουν λύσεις αντίστοιχα, όπου πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί ανά δύο.

2. Ας είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα του ορθογωνίου και σημείο της προέκτασης της ημιευθείας .

Αν η τομή των να δείξετε οτι .

3. Τα μέτρα των πλευρών τριγώνου είναι οι αριθμοί ().

i) Να δείξετε οτι και οι αριθμοί 

 

είναι μέτρα πλευρών .

ii) Τι πρέπει να συμβαίνει ώστε τα τετράγωνα των μέτρων του ενός τριγώνου να είναι τα μέτρα των πλευρών του άλλου;

4. α) Θεωρούμε το σύνολο και μια συνάρτηση που είναι αμφιμονοσήμαντη και επί.

Να δείξετε ότι το γινόμενο

   

είναι άρτιος αριθμός.

β) Να βρείτε μια πολυωνυμική συνάρτηση α' βαθμού γνωρίζοντας ότι και οτι η εξίσωση έχει μοναδική λύση.

Πηγή: mathematica (parmenides51)