▪ Η άσκηση του μήνα - Νοέμβριος 2012

 Του Νίκου Ζανταρίδη                                                            

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R\rightarrow{R}$ ισχύει $f(0)=0$ και

$6x+f(1)-1\leq{3f'(x)}\leq{6x+2f(2)-2f(1)-6}$

για κάθε $x\in{R}$.

i) Να αποδειχθεί ότι $f(x)=x^2$, $x\in{R}$.

ii) Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο $ΟΑΒ$, όπου $Ο(0,0)$, $Α(a,f(a))$, $Β(β,f(β))$, $a>0$ και $\angle{ΑΟΒ}=90^0$. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του εμβαδού του τριγώνου $ΑΟΒ$.

iii) Να βρεθούν οι εφαπτομένες $ε_{1}, ε_{2}$ της $C_{f}$ που διέρχονται από το σημείο $Ν(0,-1)$.
iv) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις ευθείες $ε_{1}, ε_{2}$ και την $C_{f}$.
v) Nα βρεθεί το όριο

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{xf(x)-(ημx)f(ημx)}{(e^{x}-x-1)\cdot{ημ^{3}x}}$.

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Κάντε κλικ εδώ για να το εκτυπώσετε και εδώ, για να δείτε τη λύση του Μάκη Χατζόπουλου.