▪ Η άσκηση του μήνα - Νοέμβριος 2012

 Του Νίκου Ζανταρίδη                                                            

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\to R$ ισχύει $f(0)=0$ και

$6x+f(1)-1\le 3f^{\prime }(x)\le 6x+2f(2)-2f(1)-6$

για κάθε $x\in R$.

i) Να αποδειχθεί ότι $f(x)=x^2$, $x\in R$.

ii) Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm O}{\rm A}{\rm B}$, όπου ${\rm O}(0,0)$, ${\rm A}(a,f(a))$, ${\rm B}(\beta ,f(\beta ))$, $a>0$ και $\mathrm{\angle }{\rm A}{\rm O}{\rm B}={90}^0$. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του εμβαδού του τριγώνου ${\rm A}{\rm O}{\rm B}$.

iii) Να βρεθούν οι εφαπτομένες ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ της $C_f$ που διέρχονται από το σημείο ${\rm N}(0,-1)$.
iv) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις ευθείες ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ και την $C_f$.
v) Nα βρεθεί το όριο

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{xf(x)-(\eta \mu x)f(\eta \mu x)}{(e^x-x-1)\cdot \eta {\mu }^{3}x}}$.

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Κάντε κλικ εδώ για να το εκτυπώσετε και εδώ, για να δείτε τη λύση του Μάκη Χατζόπουλου.