▪ Νόμος ημιτόνων και συνημιτόνων

Ασκήσεις
1. Δίνονται τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί $\alpha ,\beta ,\gamma$ και τρεις γωνίες ${\rm A},{\rm B},\Gamma$ έτσι ώστε:

   ${\rm A},{\rm B},\Gamma >0$, ${\rm A}+{\rm B}+\Gamma =\pi$ 

και

$\frac{a}{\eta \mu A}=\frac{\beta }{\eta \mu {\rm B}}=\frac{\gamma }{\eta \mu \Gamma }$. 

Να αποδείξετε ότι:

${\alpha }^2={\beta }^2+{\gamma }^2-2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A}$

${\beta }^2={\alpha }^2+{\gamma }^2-2\alpha \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B}$

${\gamma }^2={\alpha }^2+{\beta }^2-2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma$.

2. Δίνονται τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί $\alpha ,\beta ,\gamma$ και τρεις γωνίες ${\rm A},{\rm B},\Gamma$ έτσι ώστε:

  ${\rm A},{\rm B},\Gamma >0$, ${\rm A}+{\rm B}+\Gamma =\pi$ 

 και

$\frac{a}{\eta \mu A}=\frac{\beta }{\eta \mu {\rm B}}=\frac{\gamma }{\eta \mu \Gamma }$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα τρίγωνο ${\rm K}\Lambda {\rm M}$ με $(\Lambda {\rm M})=\alpha ,(KM)=\beta ,({\rm K}\Lambda )=\gamma ,{\rm K}={\rm A},\Lambda ={\rm B},{\rm M}=\Gamma$.

3. Δίνονται τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί $\alpha ,\beta ,\gamma$ και τρεις γωνίες ${\rm A},{\rm B},\Gamma$ έτσι ώστε:

$0<{\rm A},{\rm B},\Gamma <\pi$ 

και 

${\alpha }^2={\beta }^2+{\gamma }^2-2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A}$

${\beta }^2={\alpha }^2+{\gamma }^2-2\alpha \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B}$

${\gamma }^2={\alpha }^2+{\beta }^2-2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma$

Να αποδείξετε ότι:

$\frac{a}{\eta \mu A}=\frac{\beta }{\eta \mu {\rm B}}=\frac{\gamma }{\eta \mu \Gamma }$ και ${\rm A}+{\rm B}+\Gamma =\pi$.

4. Δίνονται τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί $\alpha ,\beta ,\gamma$ και τρεις γωνίες ${\rm A},{\rm B},\Gamma$ έτσι ώστε:

   $0<{\rm A},{\rm B},\Gamma <\pi$  

και 

${\alpha }^2={\beta }^2+{\gamma }^2-2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A}$

${\beta }^2={\alpha }^2+{\gamma }^2-2\alpha \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B}$

${\gamma }^2={\alpha }^2+{\beta }^2-2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα τρίγωνο ${\rm K}\Lambda {\rm M}$, με $(\Lambda M)=\alpha ,(KM)=\beta ,({\rm K}\Lambda )=\gamma ,{\rm K}=A,\Lambda ={\rm B},{\rm M}=\Gamma$.