▪ Ασκήσεις στον Ρυθμό Μεταβολής

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Mια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λυώνει. Η ακτίνα της, που ελαττώνεται, δίνεται σε cm από τον τύπο $r=4-t^2$, όπου $t$ ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας ${\rm E}$ και του όγκου $V$ της μπάλας, όταν $t=1$sec. (Θυμηθείτε ότι ${\rm E}=4\pi r^2$  και $V=\frac{4}{3}\pi r^3$).2. Ο όγκος $V$ ενός σφαιρικού μπαλονιού που φουσκώνει αυξάνεται με ρυθμό $100$cm^3/sec. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η ακτίνα του $r$ τη χρονική στιγμή $t_0$, που αυτή είναι ίση με $9$cm; 3. To κόστος παραγωγής, ${\rm K}(x)$, και η τιμή πώλησης, $\Pi (x)$, $x$ μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις $K(x)=\frac{1}{3}{x}^3-20x^2+600x+1000$ και $\Pi (x)=420x$ αντιστοίχως. Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους, $P(x)=\Pi (x)-K(x)$, είναι θετικός. 4. Δύο πλοία ${\Pi }_1$ και ${\Pi }_2$ αναχωρούν συγχρόνως από ένα λιμάνι $\Lambda$. Το πλοίο ${\Pi }_1$ κινείται ανατολικά με ταχύτητα $15$km/h και το ${\Pi }_2$ βόρεια με ταχύτητα $20$km/h. i) Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσεως των ${\Pi }_1$ και ${\Pi }_2$ ii) Να αποδείξετε ότι η απόσταση $d=({\Pi }_1{\Pi }_2)$ των δυο πλοίων αυξάνεται με σταθερό ρυθμό τον οποίο και να προσδιορίσετε. 5. Ένα κινητό ${\rm M}$ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης $y=\frac{1}{4}{x}^2$, $x\ge 0$. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης $x$ του ${\rm M}$ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του $y$, αν υποτεθεί ότι $xʹ(t)>0$ για κάθε $t\ge 0$. Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό $10$cm^2/sec, να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής όταν $r=85$cm. 2. Έστω ${\rm T}$ το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm O}{\rm A}{\rm B}$ που ορίζουν τα σημεία $O(0,0)$, $A(x,0)$  και $B(0,lnx)$ με $x>1$. Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό $4$cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού ${\rm T}$, όταν $x=5$cm.3. Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί στη ράμπα του διπλανού σχήματος και το κουτί κινείται με ταχύτητα $3m/s$. Να βρείτε πόσο γρήγορα ανυψώνεται το κουτί, δηλαδή το ρυθμό μεταβολής του $y$. 4. Ένα αερόστατο ${\rm A}$ αφήνει το έδαφος σε απόσταση 100m από έναν παρατηρητή $\Pi$ με ταχύτητα $50$m/min. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία $\theta$ που σχηματίζει η ${\rm A}\Pi$ με το έδαφος τη χρονική στιγμή κατά την οποία το μπαλλόνι βρίσκεται σε ύψος $100$m. 5. Mία γυναίκα ύψους $1,60$m απομακρύνεται από τη βάση ενός φανοστάτη ύψους $8$m με ταχύτητα $0,8$m/s. Με ποια ταχύτητα αυξάνεται ο ίσκιος της; 6. Ένα περιπολικό ${\rm A}$ κινείται κατά μήκος της καμπύλης $y=-\frac{1}{3}{x}^3$, $x\le 0$, πλησιάζοντας την ακτή και ο προβολέας του φωτίζει κατευθείαν εμπρός (Σχήμα). Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του περιπολικού δίνεται από τον τύπο                     $\alpha ʹ(t)=-\alpha (t)$ να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου ${\rm M}$ της ακτής στο οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγμή κατά την οποία το περιπολικό έχει τετμημένη $-3$. 7. Μία σκάλα μήκους $3m$ είναι τοποθετημένη σ' έναν τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας γλυστράει στο δάπεδο με ρυθμό $0,1m/sec$. Τη χρονική στιγμή $t_0$ , που η κορυφή της σκάλας απέχει από το δάπεδο $2,5$m, να βρείτε: i) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας $\theta$ (Σχήμα). ii) Την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή ${\rm A}$ της σκάλας. 8. Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση $x^2+y^2=1$. Καθώς περνάει από το σημείο ${\rm A}(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, η τεταγμένη $y$ ελαττώνεται με ρυθμό $3$ μονάδες το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης $x$ τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το ${\rm A}$.

Από το σχολικό βιβλίο Μαθηματικών κατεύθυνσης, της Γ Λυκείου.