▪ Ασκήσεις στον Ρυθμό Μεταβολής

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Mια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λυώνει. Η ακτίνα της, που ελαττώνεται, δίνεται σε cm από τον τύπο $r = 4 − t^2$, όπου $t$ ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας $Ε$ και του όγκου $V$ της μπάλας, όταν $t = 1$sec. (Θυμηθείτε ότι $Ε = 4πr^2$  και $V=\frac{4}{3}πr^3$).2. Ο όγκος $V$ ενός σφαιρικού μπαλονιού που φουσκώνει αυξάνεται με ρυθμό $100$cm^3/sec. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η ακτίνα του $r$ τη χρονική στιγμή $t_0$, που αυτή είναι ίση με $9$cm; 3. To κόστος παραγωγής, $Κ(x)$, και η τιμή πώλησης, $Π(x)$, $x$ μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις $K(x)=\frac{1}{3}x^3-20x^2+600x+1000$ και $Π(x) = 420x$ αντιστοίχως. Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους, $P(x) = Π(x) − K(x)$, είναι θετικός. 4. Δύο πλοία $Π_1$ και $Π_2$ αναχωρούν συγχρόνως από ένα λιμάνι $Λ$. Το πλοίο $Π_1$ κινείται ανατολικά με ταχύτητα $15$km/h και το $Π_2$ βόρεια με ταχύτητα $20$km/h. i) Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσεως των $Π_1$ και $Π_2$ ii) Να αποδείξετε ότι η απόσταση $d = (Π_1Π_2)$ των δυο πλοίων αυξάνεται με σταθερό ρυθμό τον οποίο και να προσδιορίσετε. 5. Ένα κινητό $Μ$ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης $y=\frac{1}{4}x^2$, $x\geq{0}$. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης $x$ του $Μ$ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του $y$, αν υποτεθεί ότι $xʹ( t) > 0$ για κάθε $t ≥ 0$. Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό $10$cm^2/sec, να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής όταν $r = 85$cm. 2. Έστω $Τ$ το εμβαδόν του τριγώνου $ΟΑΒ$ που ορίζουν τα σημεία $O(0,0)$, $A(x, 0)$  και $B(0, lnx)$ με $x >1$. Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό $4$cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού $Τ$, όταν $x = 5$cm.3. Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί στη ράμπα του διπλανού σχήματος και το κουτί κινείται με ταχύτητα $3m/s$. Να βρείτε πόσο γρήγορα ανυψώνεται το κουτί, δηλαδή το ρυθμό μεταβολής του $y$. 4. Ένα αερόστατο $Α$ αφήνει το έδαφος σε απόσταση 100m από έναν παρατηρητή $Π$ με ταχύτητα $50$m/min. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία $θ$ που σχηματίζει η $ΑΠ$ με το έδαφος τη χρονική στιγμή κατά την οποία το μπαλλόνι βρίσκεται σε ύψος $100$m. 5. Mία γυναίκα ύψους $1,60$m απομακρύνεται από τη βάση ενός φανοστάτη ύψους $8$m με ταχύτητα $0,8$m/s. Με ποια ταχύτητα αυξάνεται ο ίσκιος της; 6. Ένα περιπολικό $Α$ κινείται κατά μήκος της καμπύλης $y=-\frac{1}{3}x^3$, $x\leq{0}$, πλησιάζοντας την ακτή και ο προβολέας του φωτίζει κατευθείαν εμπρός (Σχήμα). Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του περιπολικού δίνεται από τον τύπο                     $αʹ(t) = − α(t)$ να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου $Μ$ της ακτής στο οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγμή κατά την οποία το περιπολικό έχει τετμημένη $− 3$. 7. Μία σκάλα μήκους $3m$ είναι τοποθετημένη σ' έναν τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας γλυστράει στο δάπεδο με ρυθμό $0,1m/sec$. Τη χρονική στιγμή $t_0$ , που η κορυφή της σκάλας απέχει από το δάπεδο $2,5$m, να βρείτε: i) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας $θ$ (Σχήμα). ii) Την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή $Α$ της σκάλας. 8. Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση $x^2 + y^2 = 1$. Καθώς περνάει από το σημείο $Α(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, η τεταγμένη $y$ ελαττώνεται με ρυθμό $3$ μονάδες το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης $x$ τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το $Α$.

Από το σχολικό βιβλίο Μαθηματικών κατεύθυνσης, της Γ Λυκείου.