▪ Μελέτη συνάρτησης

Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση

$f(x) = x^4 − 4x^3 + 11$.

ΛΥΣΗ

1. H f έχει πεδίο ορισμού το $R$.

2. Η f είναι συνεχής στο $R$ ως πολυωνυμική.

3. Έχουμε 

$f ʹ(x) = 4x^3 − 12x^2 = 4x^2(x − 3)$.

Οι ρίζες της $f ʹ$ είναι οι $x = 3, x = 0$ (διπλή) και το πρόσημό της δίνονται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα.

Έχουμε επίσης

$f ʹʹ(x) = 12x^2 − 24x = 12x (x − 2)$.

Οι ρίζες της $f ʹʹ$ είναι οι $x = 0, x = 2$ και το πρόσημό της δίνονται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κυρτή ή κοίλη και βρίσκουμε τα σημεία καμπής.
4) Η συνάρτηση f δεν έχει ασύμπτωτες στο $+∞$  και $−∞$, αφού είναι πολυωνυμική τέταρτου βαθμού. Είναι όμως:

$\lim_{\rightarrow{+\infty}}(x^4-4x^3+11)=\lim_{\rightarrow{+\infty}}{x^4}=+\infty$

και

$\lim_{\rightarrow{-\infty}}(x^4-4x^3+11)=\lim_{\rightarrow{-\infty}}{x^4}=+\infty$.

5) Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της $f$ 

και χαράσσουμε τη γραφική παράσταση της

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.