▪ Μελέτη συνάρτησης

Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση

$f(x)=x^4-4x^3+11$.

ΛΥΣΗ

1. H f έχει πεδίο ορισμού το $R$.

2. Η f είναι συνεχής στο $R$ ως πολυωνυμική.

3. Έχουμε 

$fʹ(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$.

Οι ρίζες της $fʹ$ είναι οι $x=3,x=0$ (διπλή) και το πρόσημό της δίνονται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα.

Έχουμε επίσης

$fʹʹ(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$.

Οι ρίζες της $fʹʹ$ είναι οι $x=0,x=2$ και το πρόσημό της δίνονται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κυρτή ή κοίλη και βρίσκουμε τα σημεία καμπής.
4) Η συνάρτηση f δεν έχει ασύμπτωτες στο $+\infty$  και $-\infty$, αφού είναι πολυωνυμική τέταρτου βαθμού. Είναι όμως:

$\underset{\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x^4-4x^3+11)=\underset{\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^4=+\mathrm{\infty }$

και

$\underset{\to -\mathrm{\infty }}{lim}(x^4-4x^3+11)=\underset{\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^4=+\mathrm{\infty }$.

5) Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της $f$ 

και χαράσσουμε τη γραφική παράσταση της

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση