▪ Απόσταση μεταξύ δύο ευθειών

Να αποδειχτεί ότι η απόσταση των ευθειών ${\epsilon }_1:y=\lambda x+{\beta }_1$ και ${\epsilon }_2:y=\lambda x+{\beta }_2$ δίνεται από τον τύπο

$d({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)=\frac{\mid {\beta }_1-{\beta }_2\mid }{\sqrt{1+{\lambda }^2}}$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η απόσταση των ${\epsilon }_1$ και ${\epsilon }_2$ είναι ίση με την απόσταση οποιουδήποτε σημείου της ευθείας ${\epsilon }_1$ από την ευθεία ${\epsilon }_2$.

Για $x=0$, από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε ότι $y={\beta }_1$. Άρα, το σημείο $A(0,{\beta }_1)$ ανήκει στην ${\epsilon }_1$, οπότε έχουμε

$d({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)$= $d({\rm A},{\epsilon }_2)$ 

                =$\frac{\mid \lambda \cdot 0-{\beta }_1+{\beta }_2\mid }{\sqrt{1+{\lambda }^2}}$, αφού ${\epsilon }_2:\lambda x-y+{\beta }_2=0$

                =$\frac{\mid {\beta }_1-{\beta }_2\mid }{\sqrt{1+{\lambda }^2}}$.