▪ Απόσταση μεταξύ δύο ευθειών

Να αποδειχτεί ότι η απόσταση των ευθειών $ε_1: y= λx + β_1$ και $ε_2: y= λx + β_2$ δίνεται από τον τύπο

$d(ε_1, ε_2)=\frac{\midβ_1-β_2\mid}{\sqrt{1+λ^2}}$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η απόσταση των $ε_1$ και $ε_2$ είναι ίση με την απόσταση οποιουδήποτε σημείου της ευθείας $ε_1$ από την ευθεία $ε_2$.

Για $x=0$, από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε ότι $y=β_1$. Άρα, το σημείο $A(0,β_1)$ ανήκει στην $ε_1$, οπότε έχουμε

$d(ε_1, ε_2)$= $d(Α, ε_2)$ 

                =$\frac{\midλ\cdot0-β_1+β_2\mid}{\sqrt{1+λ^2}}$, αφού $ε_2:λx-y+β_2=0$

                =$\frac{\midβ_1-β_2\mid}{\sqrt{1+λ^2}}$.