▪ Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου

Θεώρημα (εσωτερικής διχοτόμου τριγώνου)

Η διχοτόμος μιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών.

Δηλαδή, αν ΑΔ διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει

$\frac{ΔΒ}{ΔΓ}=\frac{ΑΒ}{ΑΓ}$.

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ (σχ.18). Από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΑΔ, που τέμνει την προέκταση της ΑΓ στο Ε. Από το θεώρημα του Θαλή στο τρίγωνο ΓΕΒ έχουμε ΔBΔΓ = ΑΕΑΓ (1).  

Για να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι ΑΕ = ΑΒ. Πράγματι: 
A₁ = Β₁ (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ και ΒΕ),
A₂ = Ε (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΔ και ΒΕ), 
A₁ = A₂ (ΑΔ διχοτόμος),
οπότε Β₁ = Ε άρα ΑΕ = ΑΒ (2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΔBΔΓ = ΑΒΑΓ .  

Επειδή το σημείο Δ που διαιρεί την πλευρά ΒΓ σε λόγο ΑΒΑΓ είναι μοναδικό, το θεώρημα ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή:
Αν το Δ είναι σημείο της πλευράς ΒΓ και ισχύει ΔBΔΓ =ΑΒΑΓ  τότε η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας A.
Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας, της Α΄ - Β΄ Λυκείου.