▪ Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

Θεώρημα (εξωτερικής διχοτόμου τριγώνου)

Η διχοτόμος μιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέμνει την προέκταση της απέναντι πλευράς σε ένα σημείο, το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών.

Δηλαδή, αν η ΑΕ είναι εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει ότι:

$\frac{{\rm E}{\rm B}}{{\rm E}\Gamma }=\frac{{\rm A}{\rm B}}{{\rm A}\Gamma }$.

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η εξωτερική διχοτόμος του ΑΕ. Από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΑΕ, που τέμνει την ΑΓ στο Ζ. Από το θεώρημα του Θαλή στο τρίγωνο ΓΑΕ έχουμε

ΕΒΕΓ = ΑZΑΓ     (1).     

Για να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι ΑΖ = ΑΒ. Πράγματι:

A₁ = Β₁ (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΕ και ΒΖ),
A₂= Ζ₁ (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΕ και ΒΖ),
A₁ = A₂ (ΑΕ εξωτερική διχοτόμος),
οπότε Β₁ = Ζ₁ άρα ΑΖ = ΑΒ (2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΕΒΕΓ = ΑΒΑΓ .
Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας, της Α΄ - Β΄ Λυκείου.