Θεώρημα (εξωτερικής διχοτόμου τριγώνου)
Η διχοτόμος μιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέμνει την προέκταση της απέναντι πλευράς σε ένα σημείο, το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών.
Δηλαδή, αν η ΑΕ είναι εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει ότι:
$\frac{ΕΒ}{ΕΓ}=\frac{ΑΒ}{ΑΓ}$.
Απόδειξη
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η εξωτερική διχοτόμος του ΑΕ. Από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΑΕ, που τέμνει την ΑΓ στο Ζ. Από το θεώρημα του Θαλή στο τρίγωνο ΓΑΕ έχουμε
ΕΒΕΓ = ΑZΑΓ (1).
Για να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι ΑΖ = ΑΒ. Πράγματι:
A1 = Β1 (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΕ και ΒΖ),
A2= Ζ1 (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΕ και ΒΖ),
A1 = A2 (ΑΕ εξωτερική διχοτόμος),
οπότε Β1 = Ζ1 άρα ΑΖ = ΑΒ (2).
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΕΒΕΓ = ΑΒΑΓ .A2= Ζ1 (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΕ και ΒΖ),
A1 = A2 (ΑΕ εξωτερική διχοτόμος),
οπότε Β1 = Ζ1 άρα ΑΖ = ΑΒ (2).Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας, της Α΄ - Β΄ Λυκείου.
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς μου επιτραπεί να κάμω μία υπόδειξη εις τον συγγραφέα του σχολικού βιβλίου
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ ευκολότερος τρόπος δια να γίνει ένα ακριβές σχήμα διά του οποίου να αποδεικνύεται το θεώρημα (ή, τα θεωρήματα) των διχοτόμων είναι ο εξής:
1ον: Σχεδιάζουμε δύο ευθείες ΑΔ και ΑΔ΄, καθέτους προς αλλήλας και τις θεωρούμε ως διχοτόμους (εσωτερική και εξωτερική, αντιστοίχως) της γωνίας Α, τριγώνου ΑΒΓ.
2ον: Ορίζουμε μία ευθεία ΑΓ΄, διερχομένη διά του Α και δι΄ ενός τυχόντος σημείου Γ΄.
3ον: Ορίζουμε την ευθεία ΑΒ΄, συμμετρική της ΑΓ΄ ως προς την ΑΔ.
4ον: Διά παν σημείο Β της ΑΒ΄ και διά παν σημείο Γ της ΑΓ΄, ορίζεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ το οποίο έχει την ΑΔ ως διχοτόμο της γωνίας Α και την ΑΔ΄ ως εξωτερική διχοτόμο της γωνίας Α.
Το θέμα αναπτύσσεται αναλυτικότερα εις την διεύθυνση που θα αναγράψω εν συνεχεία και εξετάζεται από την σκοπιά που δηλώνει η εξής επιγραμματική παρομοίωση (του ξυλουργού):
«Τα σχήματα, διά τον γεωμέτρη, είναι όπως το εργαλεία διά τον μάστορα... Δεν είναι καλός μάστορας αυτός που (π.χ.) χρησιμοποιεί καλέμι εκεί που πρέπει να χρησιμοποιήσει σκαρπέλο...».
Η διεύθυνση:
http://thalespyramis.blogspot.gr/2013/11/blog-post_13.html#accuracy