▪ Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε δοσμένο λόγο

Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, εσωτερικά και εξωτερικά, σε δοσμένο λόγο $\frac{μ}{ν}$, όπου $μ,ν$ γνωστά τμήματα.
Λύση
Από το $Α$ φέρουμε μια ημιευθεία $Αχ$, πάνω στην οποία παίρνουμε τμήμα $ΑΕ=μ$. Από το $Β$ φέρουμε ευθεία παράλληλη της $Αχ$ και παίρνουμε πάνω σε αυτή εκατέρωθεν του $Β$ τμήματα $ΒΖ=ΒΗ=ν$. Τα σημεία $Γ$ και $Δ$ στα οποία οι ευθείες $ΕΗ$ και $ΕΖ$ τέμνουν την ευθεία $ΑΒ$ είναι τα ζητούμενα. Πράγματι, τα τρίγωνα $ΑΕΓ$ και $ΓΗΒ$ έχουν ανάλογες πλευρές, οπότε:

$\frac{ΓΑ}{ΓΒ} = \frac{ΑΕ}{ΒΗ} = \frac{μ}{ν}$.

Όμοια τα τρίγωνα $ΔΑΕ$ και $ΔΒΖ$ έχουν ανάλογες πλευρές, οπότε:

$\frac{ΔΑ}{ΔΒ} = \frac{ΑΕ}{ΒΖ} = \frac{μ}{ν}$ .

• Αν $μ=ν$, το τετράπλευρο $ΑΒΖΕ$ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε η $ΕΖ$ δε δίνει σημείο $Δ$ πάνω στην $ΑΒ$, ενώ το $Γ$ είναι το μέσο του $ΑΒ$.
Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας, της Α΄ - Β΄ Λυκείου.