▪ Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε δοσμένο λόγο

Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, εσωτερικά και εξωτερικά, σε δοσμένο λόγο $\frac{\mu }{\nu }$, όπου $\mu ,\nu$ γνωστά τμήματα.
Λύση
Από το ${\rm A}$ φέρουμε μια ημιευθεία ${\rm A}\chi$, πάνω στην οποία παίρνουμε τμήμα ${\rm A}{\rm E}=\mu$. Από το ${\rm B}$ φέρουμε ευθεία παράλληλη της ${\rm A}\chi$ και παίρνουμε πάνω σε αυτή εκατέρωθεν του ${\rm B}$ τμήματα ${\rm B}{\rm Z}={\rm B}{\rm H}=\nu$. Τα σημεία $\Gamma$ και $\Delta$ στα οποία οι ευθείες ${\rm E}{\rm H}$ και ${\rm E}{\rm Z}$ τέμνουν την ευθεία ${\rm A}{\rm B}$ είναι τα ζητούμενα. Πράγματι, τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm E}\Gamma$ και $\Gamma {\rm H}{\rm B}$ έχουν ανάλογες πλευρές, οπότε:

$\frac{\Gamma {\rm A}}{\Gamma {\rm B}}=\frac{{\rm A}{\rm E}}{{\rm B}{\rm H}}=\frac{\mu }{\nu }$.

Όμοια τα τρίγωνα $\Delta {\rm A}{\rm E}$ και $\Delta {\rm B}{\rm Z}$ έχουν ανάλογες πλευρές, οπότε:

$\frac{\Delta {\rm A}}{\Delta {\rm B}}=\frac{{\rm A}{\rm E}}{{\rm B}{\rm Z}}=\frac{\mu }{\nu }$ .

• Αν $\mu =\nu$, το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm B}{\rm Z}{\rm E}$ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε η ${\rm E}{\rm Z}$ δε δίνει σημείο $\Delta$ πάνω στην ${\rm A}{\rm B}$, ενώ το $\Gamma$ είναι το μέσο του ${\rm A}{\rm B}$.
Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας, της Α΄ - Β΄ Λυκείου.