▪ Σάλπιγγα του Γαβριήλ

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ (ή Torricelli's trumpet) είναι ένα σχήμα που επινοήθηκε από τον Εβαντζελίστα Τοριτσέλι και το οποίο έχει άπειρο εμβαδό, αλλά πεπερασμένο όγκο. Η ονομασία του αναφέρεται στη θρησκευτική παράδοση, που θέλει τον Αρχάγγελο Γαβριήλ, να φυσά τη σάλπιγγα που αναγγέλλει την Ημέρα της Κρίσης, συνδέοντας έτσι το άπειρο με το θείο.

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ σχηματίζεται αν πάρουμε τη γραφική παράσταση του $y=\frac{1}{x}$, στο διάστημα $x\ge 1$ και περιστρέφοντάς την σε τρεις διαστάσεις, γύρω από τον άξονα των $x$. Η ανακάλυψη έγινε χρησιμοποιώντας την αρχή του Καβαλιέρι και πριν την ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης, όμως σήμερα η μαθηματική ανάλυση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί ο όγκος και το εμβαδόν της Σάλπιγγας στο διάστημα από $x=1$ μέχρι $x=a$, όπου $a>1$.
Χρησιμοποιώντας ολοκληρωτικό λογισμό, είναι δυνατό να υπολογιστεί ο όγκος $V$ και το εμβαδόν $A$:

$V=\pi {\int }_1^a\frac{1}{x^2}dx=\pi (1-\frac{1}{a})$

$A=2\pi {\int }_1^a\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}{x}dx>2\pi {\int }_1^a\frac{\sqrt{1}}{x}dx=2\pi lna$.

Το $\alpha$ μπορεί να γίνει όσο μεγάλο χρειάζεται, αλλά από την εξίσωση φαίνεται ότι ο όγκος του τμήματος της Σάλπιγγας μεταξύ $x=1$ και $x=a$ ποτέ δεν θα ξεπεράσει το $\pi$ - όμως, θα πλησιάζει ολοένα το $\pi$ καθώς το $a$ γίνεται μεγαλύτερο. Ή αλλιώς, με τη μαθηματική ορολογία, λέμε ότι ο όγκος «τείνει στο $\pi$ όταν το $a$ τείνει στο άπειρο», που σημαίνει ότι ο όγκος της Σάλπιγγας ισούται με  $\pi$ για μεγάλα $a$. Το παραπάνω μπορεί να γραφεί σε μορφή ορίου:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\pi (1-\frac{1}{a})=\pi$. 

Όσο για το εμβαδό, τα παραπάνω δείχνουν ότι αυτό είναι μεγαλύτερο από $2\pi$ φορές το φυσικό λογάριθμο του $a$. Δεν υπάρχει άνω όριο για το φυσικό λογάριθμο του $a$ καθώς αυτό τείνει στο άπειρο. Αυτό σημαίνει, στην περίπτωση που εξετάζουμε, ότι η Σάλπιγγα έχει άπειρη επιφάνεια. Γράφοντας πάλι αυτή τη διαπίστωση σαν όριο:

$\underset{a\to +\mathrm{\infty }}{lim}2\pi lna=+\mathrm{\infty }$. 

Πηγή: wikipedia.com

Το παράδοξο