▪ Γενικές ασκήσεις στους Μιγαδικούς

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση $f$ με

 $f(z)=\frac{(z-1)(\overline{z}+1)}{z+\overline{z}}$

με $z ϵ ₵$ και $Re(z) ≠ 0$.
α) Να αποδείξετε ότι

$f(-\frac{1}{\overline{z}})= f(z)$. 

β) Έστω $α,β$ δύο (σταθεροί) πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί από το $0$. Να βρείτε το είδος της καμπύλης στην οποία ανήκουν τα σημεία $M(x, y)$, με $x ≠ 0$, για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί $z = αx + βyi$ ικανοποιούν τη σχέση $Re( f(z) ) = 0$.
2. Θεωρούμε τους μιγαδικούς $z, w$ και $w_1$, για τους οποίους ισχύουν: $w = z − zi$ και $w_1=\frac{1}{a}+ai$, όπου $α ϵ R*$. Να δείξετε ότι αν το $α$ μεταβάλλεται στο $R*$ και ισχύει $w = w_1$, τότε η εικόνα $P$ του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή.

3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς $z = λ + 2 + (3λ − 1)i , λ ϵ R$.
α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού $z$
β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού $w$ για τον οποίο ισχύει $w = z + (1 + i)$
γ) Να βρείτε το μιγαδικό z που έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχή $O(0,0)$.
4. Να γραμμοσκιάσετε το τμήμα του μιγαδικού επιπέδου που ορίζουν οι εικόνες των μιγαδικών $z,$ για τους οποίους ισχύει :
α) $| 2z + 1 | <| z + i | β) | z − 1 | = 1 + Re(z)$
5. Να αποδείξετε ότι αν οι μιγαδικοί $z_1, z_2 ,.....,z_k$ έχουν τις εικόνες τους στο ίδιο ημιεπίπεδο μιας ευθείας που διέρχεται από την αρχή $O(0,0)$, τότε ισχύει $z_1 + z_2 +.....+z_k ≠0$.
6. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης $(1 − z)^ ν = z^ ν$ είναι σημεία της ευθείας $x = 1/2$.
7. Αν το τριώνυμο $αx^2 + βx + γ$ με πραγματικούς συντελεστές και $α ≠0$ δεν έχει πραγματικές ρίζες, να αποδείξετε ότι:
α) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς κ και λ ισχύει
$(ακ^2 + βκ + γ)(αλ^2 + βλ + γ) > 0$.
β) Για οποιουσδήποτε συζυγείς μιγαδικούς $z_1$ και $z_2$ διαφορετικούς από τις ρίζες του τριωνύμου ισχύει επίσης
$(αz_1^2 + βz_1 + γ)(αz_2^2 + βz_2 + γ) > 0$
8. Γνωρίζοντας ότι για τις νιοστές ρίζες της μονάδας $1, z_1, z_2 ,.....,z_{ν-1}$ ισχύει $1 + z_1 + z_2 +.....+ z_{ν-1} = 0$, να αποδείξετε τις ταυτότητες:
i) $ημ{\frac{2π}{ν}}+ ημ{\frac{4π}{ν}} + ημ{\frac{6π}{ν}}+.....+ημ{\frac{2(ν-1)π}{ν}}=0$
ii) $συν{\frac{2π}{ν}}+ συν{\frac{4π}{ν}} + συν{\frac{6π}{ν}}+.....+συν{\frac{2(ν-1)π}{ν}}=-1$.
Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.