▪ Ανάπτυγμα του κώνου

Η κυρτή επιφάνεια ενός κώνου μπορεί να αναπτυχθεί στο επίπεδο. Για το σκοπό αυτό εγγράφουμε στον κώνο $(ΚΟ,ρ)$, μία κανονική ν-γωνική πυραμίδα, την οποία στη συνέχεια αναπτύσσουμε στο επίπεδο. Το ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας της κανονικής πυραμίδας αποτελείται από ν ίσα ισοσκελή τρίγωνα, τα οποία κατασκευάζουμε το ένα δίπλα στο άλλο ως εγγεγραμμένα τρίγωνα στον κύκλο $(Κ',λ)$, όπου $Κ'$ τυχόν σημείο του επιπέδου και λ το μήκος της γενέτειρας του κώνου.

Διπλασιάζοντας συνεχώς τον αριθμό ν των κορυφών της εγγεγραμμένης πυραμίδας, τα μήκη των ίσων χορδών $ΑΒ, ΒΓ$, κτλ. γίνονται συνεχώς μικρότερα και η πολυγωνική γραμμή $Α'Β'...Α'$ στο ανάπτυγμα τείνει να συμπέσει με το τόξο του κύκλου $(Κ',λ)$. Στο όριο λοιπόν, το ανάπτυγμα του κώνου είναι ένας τομέας του κύκλου $(Κ', λ)$, το τόξο του οποίου έχει μήκος $ΑA'=2πρ$. Αν ονομάσουμε $φ$ τη γωνία $Α'K'Α'$ του τομέα, μετρημένη σε μοίρες, έχουμε τη σχέση:

$\frac{360^{0}}{2πλ}=\frac{φ}{2πρ}$

$φ=\frac{ρ}{λ}\cdot360^0$

Άρα, το ανάπτυγμα της κυρτής επιφάνειας κώνου με πλευρά $λ$ και ακτίνα $ρ$ είναι τομέας κύκλου ακτίνας $λ$ που βλέπει τόξο μήκους $2πρ$ ή σε μοίρες:

$φ=\frac{ρ}{λ}\cdot360^0$.