▪ Εμβαδόν κυκλικού δίσκου

Να υπολογιστεί το εμβαδόν $Ε$ του κυκλικού δίσκου 

$x^2 + y^2 = ρ^2$.

ΛΥΣΗ

Το ημικύκλιο C1 είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης
$f(x)=\sqrt{ρ^2-x^2}$,  $x\in[-ρ, ρ]$,
αφού για y > 0 είναι
$x^2+y^2=ρ^2$ ή ισοδύναμα  $y=\sqrt{ρ^2-x^2}$.
Αν $Ε_1$ είναι το εμβαδόν του ημικυκλίου, τότε $Ε = 2Ε_1$. Επειδή f(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ [−ρ,ρ] , έχουμε $Ε_1=\int_{-ρ}^{ρ}\sqrt{ρ^2-x^2}dx$.      (1)

Άρα Ε = 2Ε₁ = πρ².

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι το εμβαδόν της έλλειψης

 $\frac{χ^2}{α^2}+\frac{y^2}{β^2}=1$ 

είναι ίσο με $παβ$.

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης, της Γ΄ Λυκείου.