▪ Εμβαδόν κυκλικού δίσκου

Να υπολογιστεί το εμβαδόν ${\rm E}$ του κυκλικού δίσκου 

$x^2+y^2={\rho }^2$.

ΛΥΣΗ

Το ημικύκλιο C1 είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης
$f(x)=\sqrt{{\rho }^2-x^2}$,  $x\in [-\rho ,\rho ]$,
αφού για y > 0 είναι
$x^2+y^2={\rho }^2$ ή ισοδύναμα  $y=\sqrt{{\rho }^2-x^2}$.
Αν ${{\rm E}}_1$ είναι το εμβαδόν του ημικυκλίου, τότε ${\rm E}=2{{\rm E}}_1$. Επειδή f(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ [−ρ,ρ] , έχουμε ${{\rm E}}_1={\int }_{-\rho }^{\rho }\sqrt{{\rho }^2-x^2}dx$.      (1)

Άρα Ε = 2Ε₁ = πρ².

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι το εμβαδόν της έλλειψης

 $\frac{{\chi }^2}{{\alpha }^2}+\frac{y^2}{{\beta }^2}=1$ 

είναι ίσο με $\pi \alpha \beta$.

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης, της Γ΄ Λυκείου.