▪ Μιγαδικοί αριθμοί

Η δημιουργία των μιγαδικών αριθμών οφείλεται στην προσπάθεια επίλυσης των εξισώσεων 3ου βαθμού. Αν στην $αx^3 + βx^2 + γx + δ = 0$ θέσουμε $x=y-\frac{β}{3α}$ και εκτελέσουμε τις πράξεις, τότε προκύπτει μια εξίσωση της μορφής $x^3 = px + q$.

Στις αρχές του 16ου αιώνα οι Ιταλοί αλγεβριστές S. del Ferro και N. Tartaglia ανακάλυψαν μια μέθοδο επίλυσης τέτοιων εξισώσεων, που με σημερινό συμβολισμό ισοδυναμεί με τον τύπο

$x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{D}}$,όπου $D=(\frac{q}{2})^2-(\frac{p}{3})^2$.

Στην περίπτωση που η "διακρίνουσα" $D$ είναι θετική, ο τύπος αυτός δίνει αμέσως μια ρίζα της εξίσωσης. Για παράδειγμα, στην $x^3 = 9x + 28$ είναι $D = 169$ και ο τύπος δίνει $x = 4$, που είναι η μοναδική πραγματική ρίζα. 

Διαπιστώθηκε, όμως, τότε ένα φαινόμενο τελείως διαφορετικό από την περίπτωση των εξισώσεων 2ου βαθμού: Υπάρχουν εξισώσεις με πραγματικές ρίζες, όπως, για παράδειγμα, η $x^3 = 15x + 4$, που έχει μια προφανή ρίζα το $4$ (οι άλλες δύο είναι οι $– 2 + \sqrt{3}$, $– 2 – \sqrt{3}$), αλλά η διακρίνουσα $D$ είναι αρνητική! Ο τύπος στη συγκεκριμένη περίπτωση δίνει

$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$,           (1).

Όπως είναι φανερό, οι μαθηματικοί βρέθηκαν, εδώ, μπροστά σε ένα δίλημμα: ή θα έπρεπε να εγκαταλείψουν τη μέθοδο των Ferro-Tartaglia ως γενική μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 3ου βαθμού ή να δεχτούν ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός, όπως το $4$, μπορεί να εκφραστεί με παραστάσεις που περιέχουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών.

Η δεύτερη άποψη φαινόταν αδιανόητη αλλά αυτό δεν εμπόδισε την εφαρμογή των αλγεβρικών πράξεων σε τέτοιες παραστάσεις. Στα μέσα του 16ου αιώνα ο R. Bombelli, κάνοντας τολμηρές υποθέσεις, βρήκε ότι ισχύει 

$(2 + \sqrt{– 1})^3 = 2 + \sqrt{– 121}$ 

και 

$(2 - \sqrt{– 1})^3 = 2 - \sqrt{– 121}$. 

Αντικαθιστώντας αυτές τις ισότητες στην (1) προκύπτει αμέσως ότι $x = 4$, δηλαδή το αδιανόητο γίνεται πραγματικότητα!

Οι αριθμοί της μορφής $α + βi$ με $i =\sqrt{– 1}$, που ονομάστηκαν αρχικά φανταστικοί και αργότερα μιγαδικοί, έγιναν από τότε αναπόσπαστο εργαλείο των Μαθηματικών και των εφαρμογών τους στις άλλες επιστήμες. Ο J. Hadamard, ο οποίος το 1896 απέδειξε με χρήση της μιγαδικής ανάλυσης το "θεώρημα των πρώτων αριθμών", έγραψε ότι:

"Ο συντομότερος δρόμος ανάμεσα σε δύο αλήθειες στο πεδίο των πραγματικών περνά μέσα από το πεδίο των μιγαδικών".

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης, της Γ΄ Λυκείου.