▪ Μιγαδικοί αριθμοί

Η δημιουργία των μιγαδικών αριθμών οφείλεται στην προσπάθεια επίλυσης των εξισώσεων 3ου βαθμού. Αν στην $\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta =0$ θέσουμε $x=y-\frac{\beta }{3\alpha }$ και εκτελέσουμε τις πράξεις, τότε προκύπτει μια εξίσωση της μορφής $x^3=px+q$.

Στις αρχές του 16ου αιώνα οι Ιταλοί αλγεβριστές S. del Ferro και N. Tartaglia ανακάλυψαν μια μέθοδο επίλυσης τέτοιων εξισώσεων, που με σημερινό συμβολισμό ισοδυναμεί με τον τύπο

$x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{D}}$,όπου $D=(\frac{q}{2}{)}^2-(\frac{p}{3}{)}^2$.

Στην περίπτωση που η "διακρίνουσα" $D$ είναι θετική, ο τύπος αυτός δίνει αμέσως μια ρίζα της εξίσωσης. Για παράδειγμα, στην $x^3=9x+28$ είναι $D=169$ και ο τύπος δίνει $x=4$, που είναι η μοναδική πραγματική ρίζα. 

Διαπιστώθηκε, όμως, τότε ένα φαινόμενο τελείως διαφορετικό από την περίπτωση των εξισώσεων 2ου βαθμού: Υπάρχουν εξισώσεις με πραγματικές ρίζες, όπως, για παράδειγμα, η $x^3=15x+4$, που έχει μια προφανή ρίζα το $4$ (οι άλλες δύο είναι οι $–2+\sqrt{3}$, $–2–\sqrt{3}$), αλλά η διακρίνουσα $D$ είναι αρνητική! Ο τύπος στη συγκεκριμένη περίπτωση δίνει

$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$,           (1).

Όπως είναι φανερό, οι μαθηματικοί βρέθηκαν, εδώ, μπροστά σε ένα δίλημμα: ή θα έπρεπε να εγκαταλείψουν τη μέθοδο των Ferro-Tartaglia ως γενική μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 3ου βαθμού ή να δεχτούν ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός, όπως το $4$, μπορεί να εκφραστεί με παραστάσεις που περιέχουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών.

Η δεύτερη άποψη φαινόταν αδιανόητη αλλά αυτό δεν εμπόδισε την εφαρμογή των αλγεβρικών πράξεων σε τέτοιες παραστάσεις. Στα μέσα του 16ου αιώνα ο R. Bombelli, κάνοντας τολμηρές υποθέσεις, βρήκε ότι ισχύει 

$(2+\sqrt{–1}{)}^3=2+\sqrt{–121}$ 

και 

$(2-\sqrt{–1}{)}^3=2-\sqrt{–121}$. 

Αντικαθιστώντας αυτές τις ισότητες στην (1) προκύπτει αμέσως ότι $x=4$, δηλαδή το αδιανόητο γίνεται πραγματικότητα!

Οι αριθμοί της μορφής $\alpha +\beta i$ με $i=\sqrt{–1}$, που ονομάστηκαν αρχικά φανταστικοί και αργότερα μιγαδικοί, έγιναν από τότε αναπόσπαστο εργαλείο των Μαθηματικών και των εφαρμογών τους στις άλλες επιστήμες. Ο J. Hadamard, ο οποίος το 1896 απέδειξε με χρήση της μιγαδικής ανάλυσης το "θεώρημα των πρώτων αριθμών", έγραψε ότι:

"Ο συντομότερος δρόμος ανάμεσα σε δύο αλήθειες στο πεδίο των πραγματικών περνά μέσα από το πεδίο των μιγαδικών".

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης, της Γ΄ Λυκείου.