B΄ Λυκείου: Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2004

1. Έστω τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ με $\mathrm{\angle }{\rm B}=3\mathrm{\angle }\Gamma$. Η μεσοκάθετος της ${\rm B}\Gamma$ τέμνει την ${\rm A}\Gamma$ στο σημείο $\Delta$. Από το σημείο ${\rm A}$ φέρουμε κάθετη στη ${\rm B}\Delta$ που τέμνει τη ${\rm B}\Delta$ στο σημείο ${\rm E}$ και τη ${\rm B}\Gamma$ στο σημείο ${\rm Z}$. Η παράλληλη από το σημείο $\Delta$ στη ${\rm B}\Gamma$ τέμνει την ${\rm A}{\rm Z}$ στο σημείο ${\rm I}$. Να αποδείξετε ότι: 

α) η ${\rm B}{\rm I}$ είναι η διχοτόμος της γωνίας ${\rm A}{\rm B}\Delta$ 

β) το τετράπλευρο ${\rm B}{\rm Z}\Delta {\rm I}$ είναι ρόμβος. 

2. Σε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma ({\rm A}{\rm B}>{\rm A}\Gamma )$, η κάθετη από το σημείο $\Gamma$ προς τη διάμεσο ${\rm A}\Delta$ την τέμνει στο σημείο ${\rm E}$ έτσι ώστε  $\mathrm{\angle }{\rm A}\Gamma {\rm E}=\mathrm{\angle }{\rm B}$. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ορθογώνιο με $\mathrm{\angle }{\rm A}={90}^0$.

Ε.Μ.Ε - Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2004