B΄ Λυκείου: Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Θαλής» 1999

1. Έστω τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ με ${\rm A}{\rm B}<{\rm A}\Gamma$ εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν $\Delta$ το μέσο του τόξου ${\rm B}\Gamma$, προς το μέρος του σημείου ${\rm A}$ και ${\rm E}$ το ίχνος της καθέτου από το σημείο $\Delta$ προς την ${\rm A}\Gamma$, να αποδείξετε ότι ${\rm E}\Gamma ={\rm A}{\rm B}+{\rm A}{\rm E}$. 

2. Έστω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ (${\rm A}={90}^0$) με ${\rm A}{\rm B}={\rm A}\Gamma =1$. Από τυχόν σημείο ${\rm P}$ της υποτείνουσας ${\rm B}\Gamma$ φέρουμε τις κάθετες ${\rm P}{\rm K},{\rm P}\Theta$ προς τις ${\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma$ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι ένα από τα εμβαδά $({\rm B}{\rm K}{\rm P}),({\rm P}\Theta \Gamma )$ και $({\rm K}{\rm P}\Theta {\rm A})$ είναι μεγαλύτερο η ίσο του $\frac{2}{9}$.

Ε.Μ.Ε - Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Θαλής» 1999