Έστω $a, b$ και $c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί.
a) Να αποδειχθεί ότι
a) Να αποδειχθεί ότι
$4(a^3 + b^3) ≥ (a + b)^3$.
b) Να αποδειχθεί ότι$9(a^3 + b^3 + c^3) ≥ (a + b + c)^3$.
British Mathematical Olympiad 1996
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Η (α) μετά από πράξεις γίνεται
ΑπάντησηΔιαγραφή(α+β)(α-β)^2>=0 που προφανώς ισχύει
Η (β) γίνεται
(β)<=> 8(α^3+β^3+γ^3)>=3(α+β)(β+γ)(γ+α) <=>
Άρα λαμβάνοντας κυκλικά τις :
4(α^3+β^3)>=(α+β)^3
4(β^3+γ^3)>=(β+γ)^3
4(α^3+γ^3)>=(γ+α)^3
Τις προσθέτουμε και παίρνουμε
8(α^3+β^3+γ^3)>=(α+β)^3+(β+γ)^3+(γ+α)^3
Άρα αρκεί
(α+β)^3+(β+γ)^3+(γ+α)^3 >= 3(α+β)(β+γ)(γ+α)
που ισχύει από απλή εφαρμογή γεωμετρικού αριθμητικού μέσου
ΔΔΛ_Β