Τρίτη 21 Αυγούστου 2012

▪ Ανισότητες - 130η

Έστω $a, b$ και $c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί.
a) Να αποδειχθεί ότι
$4(a^3 + b^3) ≥ (a + b)^3$.
b) Να αποδειχθεί ότι
$9(a^3 + b^3 + c^3) ≥ (a + b + c)^3$.
British Mathematical Olympiad 1996
Αναρτήθηκε από στις 21.8.12
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. Dimitris19 Οκτωβρίου 2012 στις 6:10 μ.μ.

    Η (α) μετά από πράξεις γίνεται
    (α+β)(α-β)^2>=0 που προφανώς ισχύει

    Η (β) γίνεται
    (β)<=> 8(α^3+β^3+γ^3)>=3(α+β)(β+γ)(γ+α) <=>
    Άρα λαμβάνοντας κυκλικά τις :
    4(α^3+β^3)>=(α+β)^3
    4(β^3+γ^3)>=(β+γ)^3
    4(α^3+γ^3)>=(γ+α)^3
    Τις προσθέτουμε και παίρνουμε
    8(α^3+β^3+γ^3)>=(α+β)^3+(β+γ)^3+(γ+α)^3
    Άρα αρκεί
    (α+β)^3+(β+γ)^3+(γ+α)^3 >= 3(α+β)(β+γ)(γ+α)
    που ισχύει από απλή εφαρμογή γεωμετρικού αριθμητικού μέσου

    ΔΔΛ_Β

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)