▪ Θεώρημα Rolle

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν μια συνάρτηση f είναι :
	●  συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β]
	●  παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και
	●  f(α) = f(β)
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ (α, β) τέτοιο, ώστε :
f ʹ(ξ) = 0

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $\xi ϵ(\alpha ,\beta )$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο $M(\xi ,f(\xi ))$ να είναι παράλληλη στον άξονα των $x$ (σχ.18).

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση

$f(x)=x^2-4x+5,xϵ[1,3]$.     (Σχ. 19)

Επειδή η $f$ είναι συνεχής στο $[1,3]$, παραγωγίσιμη στο $(1,3)$, με $fʹ(x)=2x-4$ και $f(1)=2=f(3)$, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, θα υπάρχει ένας αριθμός $\xi ϵ(1,3)$ τέτοιος, ώστε $fʹ(\xi )=0$.

Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε :

$fʹ(\xi )=0\iff 2\xi -4=0\iff \xi =2$. 

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.