▪ Αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών αριθμών

Το σύνολο $\mathbb{N} = \{0,1, 2,...\}$ των φυσικών αριθμών δεν είναι άνω φραγμένο.
Απόδειξη

Έστω ότι το $\mathbb{N}\neq\varnothing$ είναι άνω φραγμένο. Αφού $\mathbb{N}\neq\varnothing$ έχει την ιδιότητα της πληρότητας, άρα υπάρχει $a\in\Re$ ώστε το $α$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $\mathbb{N}$. Ισχύει $α-1<α$, οπότε το $α-1$  δεν είναι άνω φράγμα του $\mathbb{N}$, συνεπώς υπάρχει $n\in\mathbb{N}$, ώστε $α-1<n$, δηλαδή $α<n+1\in\mathbb{N}$. Αυτό είναι άτοπο αφού το α είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $\mathbb{N}$.