▪ Αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών αριθμών

Το σύνολο $\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}$ των φυσικών αριθμών δεν είναι άνω φραγμένο.
Απόδειξη

Έστω ότι το $\mathbb{N}\ne \varnothing$ είναι άνω φραγμένο. Αφού $\mathbb{N}\ne \varnothing$ έχει την ιδιότητα της πληρότητας, άρα υπάρχει $a\in \mathrm{\Re }$ ώστε το $\alpha$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $\mathbb{N}$. Ισχύει $\alpha -1<\alpha$, οπότε το $\alpha -1$  δεν είναι άνω φράγμα του $\mathbb{N}$, συνεπώς υπάρχει $n\in \mathbb{N}$, ώστε $\alpha -1<n$, δηλαδή $\alpha <n+1\in \mathbb{N}$. Αυτό είναι άτοπο αφού το α είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $\mathbb{N}$.