▪ Από το αόριστο στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Του Νίκου Λυγερού

Έστω και αν είναι φυσιολογικό, διότι είναι μία ιστορική προσέγγιση, να παρουσιάζουμε πρώτα τα ορισμένα ολοκληρώματα και ύστερα μόνο τα αόριστα ολοκληρώματα, γνωστικά το αντίστροφο είναι πιο αποτελεσματικό. Αυτό θα προσπαθήσουμε να δείξουμε σε αυτό το άρθρο.

Αν και το νοητικό σχήμα του ολοκληρώματος υπάρχει ήδη στον Αρχιμήδη με τη μέτρηση του εμβαδού του κύκλου, το ολοκλήρωμα παίρνει όλη του τη σημασία με τις θεωρίες του Newton και του Leibniz. Όσο για τον απαραίτητο φορμαλισμό του, θα πρέπει να περιμένουμε τις εργασίες του Darboux, του Riemann και του Lebesgue.

Όταν όμως πρέπει να διδάξουμε για πρώτη φορά τα ολοκληρώματα, είναι προτιμότερο να βασιστούμε όχι στην ιδέα του εμβαδού αλλά της παραγώγου. Στην ουσία δεν εισχωρούμε μέσα στη γεωμετρία μέσω της ερμηνείας. Παραμένουμε στο αντικείμενο δίχως κείμενο. Συνεπώς εξετάζουμε μόνο τη δομή και λειτουργούμε αλγεβρικά, θεωρώντας ότι το ολοκλήρωμα είναι μια μορφή αντιστρόφου σε σχέση με την παράγωγο.
Με αυτόν τον τρόπο, οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν άμεσα τις τεχνικές τους γνώσεις. Δϊχως ερμηνεία το ολοκλήρωμα δεν είναι παρά ένα ανώνυμο εργαλείο. Όμως με την έννοια της παραγώγου λειτουργεί ως αντιμεταθετικό στοιχείο αν εξαιρέσουμε τη σταθερά εφόσον έχουμε:

∫(df(x)/dx)dx=f(x)+c

d(∫f(x)dx)/dx=f(x)

Με άλλα λόγια ως τελεστές το df(x)/dx και ∫f(x)dx το λειτουργούν νοητικά ως αντίστροφες συναρτήσεις. Πράγμα το οποίο επιτρέπει στον μαθητή να εξετάζει αυτός τις οντότητες ως συμπληρωματικές όταν υπάρχουν και οι δύο. Ύστερα η μελέτη της ύπαρξης εξασφαλίζει την εύρεση της νοητικής και μαθηματικής ασυμμετρίας εφόσον ακόμα και με την ύπαρξη, ο υπολογισμός του ολοκληρώματος δεν είναι πάντα εφικτός. Αυτή η διαφοροποίηση είναι σημαντική για τη νοητική εξέλιξη του μαθητή διότι μαθαίνει ότι υπάρχουν όρια ακόμα και στην ύπαρξη. Ένα ανάλογο φαινόμενο θα προκύψει για να κατανοήσει τι επινόησαν με τα θεωρήματά τους ο Abel και ο Galois.

Όπως και με την παράγωγο, η γεωμετρική μπορεί να έρθει να εμπλουτίσει την αλγεβρική δομή της ανάλυσης. Με αυτόν τον τρόπο, ο μαθητής έχει τον σκελετό του αντικειμένου που θα ζωντανέψει με τη γεωμετρική σάρκα του κειμένου. Το γνωστικό αντικείμενο είναι έτσι πιο ξεκάθαρο για τον μαθητή. Συνεπώς είναι πιο αποτελεσματικός νοητικά.