▪Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (β ≠ γ) με Α = 60°, τα ύψη του ΒΔ, ΓΕ και τα μέσα Μ, Ν των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΜΕ = ΝΔ.  2. Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες ε1 , ε2 και σημείο Α της ε1 Φέρουμε ΑΚ ⊥ ε2. Αν Β σημείο της ε2 και μια ευθεία, που διέρχεται από το Β, τέμνει τις ΑΚ και ε1 στα Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΔΕ = 2ΑΒ, να αποδείξετε ότι ΑΒΚ = 3ΕΒΚ. 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΔΕ = ΑΓ2. Από τα Β και Ε φέρουμε κάθετες στη διχοτόμο της γωνίας Α, οι οποίες τέμνουν την ΑΓ στα Β' και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) B'Ε' = ΑΓ - AB2. ii) Η ευθεία ΕΕ' διέρχεται από το μέσο της ΒΓ.  4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ, Β > 60° και το ύψος του ΑΕ προς τη ΒΓ (ΑΕ ⊥ ΒΓ). Αν

Ζ, Η είναι τα μέσα των ΓΔ και ΑΒ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i) το ΗΒΓΖ είναι ρόμβος, ii) η ΖΕ είναι διχοτόμος της ΗΕΓ, iii) το ΗΕΓΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο, iv) ΔZΕ = 3ΖEΓ.  5. Ευθεία ε αφήνει τις κορυφές τριγώνου ΑΒΓ προς το ίδιο μέρος της. Αν Α', Β', Γ', Κ' οι προβολές των Α,Β,Γ και του βαρυκέντρου Κ αντίστοιχα στην ε, να αποδείξετε ότι ΑΑ' + ΒΒ' + ΓΓ' = 3ΚΚ'.  6. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Δ το μέσο της ΒΓ. Φέρουμε ΔΕ ⊥ ΑΓ. Αν Ζ το μέσο του ΕΓ, να αποδείξετε ότι: i) ΔΖ//ΒΕ, ii) AH⊥BE, όπου Η το μέσο του ΔΕ.  7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο της ΒΓ. Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Αν Κ και Λ είναι τα κέντρα των ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΜΛ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο.

8. Δίνεται τετράγωνο πλευράς α και κέντρου Ο. Στη διαγώνιο ΑΓ παίρνουμε σημείο Μ, ώστε ΓΜ = ΑΓ4. Φέρουμε τη ΒΜ που τέμνει τη ΓΔ στο Ε και ΟΗ κάθετη στη ΒΓ, η οποία τέμνει τη ΒΕ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι: i) OZ = α3 , ii) το ΟΖΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. 9. Οι μη παράλληλες πλευρές ΑΔ και ΒΓ τραπεζίου ΑΒΓΔ τέμνονται κάθετα στο Ο. Αν Κ, Λ τα μέσα τω ν

βάσεων ΑΒ και ΔΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i) τα σημεία Ο, Κ, Λ είναι συνευθειακά, ii) ΚΛ = ΔΓ - AB2 (με ΔΓ > ΑΒ) iii) αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, τότε το ΚΕΛΖ είναι ορθογώνιο.  10. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ και το μέσο Μ του ΕΔ. Να αποδείξετε ότι η απόσταση του Μ από τη ΒΓ είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις ΑΒ, ΑΓ.

Από το βιβλίο της Γεωμετρίας, της Α΄ Λυκείου.