▪Συντεταγμένες Διανύσματος

Έστω $Oxy$ ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και $\overrightarrow{a}$ ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το ${\rm O}$ σχεδιάζουμε το διάνυσμα $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$. Αν $A_1$ και $A_2$είναι οι προβολές του ${\rm A}$ στους άξονες $x΄x$ και $y΄y$ αντιστοίχως, έχουμε:

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{A}_2}$      (1)

Αν x,y είναι οι συντεταγμένες του $A$, τότε ισχύει $\overrightarrow{O{A}_1}=x\overrightarrow{i}$  και $\overrightarrow{O{A}_2}=y\overrightarrow{i}$.  Επομένως η ισότητα (1) γράφεται

$\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$.

Αποδείξαμε δηλαδή ότι το  $\overrightarrow{a}$  είναι γραμμικός συνδυασμός των  $\overrightarrow{i}$ και  $\overrightarrow{j}$. 

Στην παραπάνω κατασκευή οι αριθμοί $x$ και $y$ είναι μοναδικοί. Θα αποδείξουμε τώρα ότι και η έκφραση του  $\overrightarrow{a}$ ως γραμμικού συνδυασμού των  $\overrightarrow{i}$ και  $\overrightarrow{j}$ είναι μοναδική.
Πράγματι, έστω ότι ισχύει και

$\overrightarrow{a}=x΄\overrightarrow{i}+y΄\overrightarrow{j}$.

Τότε θα έχουμε

$x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}=x΄\overrightarrow{i}+y΄\overrightarrow{j}$

$(x-x΄)\overrightarrow{i}=(y-y΄)\overrightarrow{j}$

Αν υποθέσουμε ότι $x\ne x΄$, δηλαδή ότι $x-x΄\ne 0$, τότε θα ισχύει

$\overrightarrow{i}=\frac{y΄-y}{x-x΄}\overrightarrow{j}$

Η σχέση αυτή, όμως, δηλώνει ότι $\overrightarrow{i}\parallel \overrightarrow{j}$ που είναι άτοπο, αφού τα  $\overrightarrow{i}$ και  $\overrightarrow{j}$ δεν είναι συγγραμμικά. Επομένως $x=x΄$ που συνεπάγεται ότι και $y=y΄$.

Ώστε:

"Κάθε διάνυσμα  $\overrightarrow{a}$  του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή 

 $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$".

Τα διανύσματα $x\overrightarrow{i}$ και $y\overrightarrow{j}$ λέγονται συνιστώσες του διανύσματος  $\overrightarrow{a}$  κατά τη διεύθυνση των  $\overrightarrow{i}$ και  $\overrightarrow{j}$ , ενώ οι αριθμοί $x,y$ λέγονται συντεταγμένες του  $\overrightarrow{a}$ στο σύστημα Oxy. Πιο συγκεκριμένα, ο $x$ λέγεται τετμημένη του  $\overrightarrow{a}$  και ο $y$ λέγεται τεταγμένη του  $\overrightarrow{a}$. Από τον τρόπο που ορίστηκαν οι συντεταγμένες ενός διανύσματος προκύπτει ότι:
"Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες".
Καθένα από τα ίσα διανύσματα με τετμημένη $x$ και τεταγμένη $y$, θα το συμβολίζουμε με το διατεταγμένο ζεύγος $(x,y)$.