Τετάρτη 11 Ιουλίου 2012

▪ Πολυώνυμα μιας μεταβλητής

Na βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $Ρ(t)$ μιας μεταβλητής που ικανοποιούν την σχέση:
$P(x^2 - y^2) = P(x + y)·P(x – y)$
για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x, y$.
 
Αναρτήθηκε από στις 11.7.12
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. Dimitris17 Νοεμβρίου 2012 στις 8:24 μ.μ.

    Για x=y=0 λαμβάνουμε ότι P(0) = 0 ή P(1) = 1.
    Για y=x λαμβάνουμε ότι P(0) = P(2x)P(0)
    Άρα αν P(0) = 1 τότε έχουμε P(x) = 1 (μία λύση)
    Για P(0) = 0

    'Εστω κ!=0 ρίζα του P( )
    τότε P(k) = 0
    για y = (x - k) λαμβάνουμε
    P(x^2 - (x - k)^2) = P(k)*P(2x-k)
    Συνεπώς P(x^2 - (x - k)^2) = 0
    Άρα και k*(2x-k) ρίζα
    Επομένως έχει άπειρες συνεπώς και P(x) = 0 είναι λύση.
    Αλλιώς έχει μία μοναδική ρίζα την x=0.
    Άρα τα υπόλοιπα πολυώνυμα που το ικανοποιούν είναι τα P(x) = x^n

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)