Για x=y=0 λαμβάνουμε ότι P(0) = 0 ή P(1) = 1. Για y=x λαμβάνουμε ότι P(0) = P(2x)P(0) Άρα αν P(0) = 1 τότε έχουμε P(x) = 1 (μία λύση) Για P(0) = 0
'Εστω κ!=0 ρίζα του P( ) τότε P(k) = 0 για y = (x - k) λαμβάνουμε P(x^2 - (x - k)^2) = P(k)*P(2x-k) Συνεπώς P(x^2 - (x - k)^2) = 0 Άρα και k*(2x-k) ρίζα Επομένως έχει άπειρες συνεπώς και P(x) = 0 είναι λύση. Αλλιώς έχει μία μοναδική ρίζα την x=0. Άρα τα υπόλοιπα πολυώνυμα που το ικανοποιούν είναι τα P(x) = x^n
Για x=y=0 λαμβάνουμε ότι P(0) = 0 ή P(1) = 1.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια y=x λαμβάνουμε ότι P(0) = P(2x)P(0)
Άρα αν P(0) = 1 τότε έχουμε P(x) = 1 (μία λύση)
Για P(0) = 0
'Εστω κ!=0 ρίζα του P( )
τότε P(k) = 0
για y = (x - k) λαμβάνουμε
P(x^2 - (x - k)^2) = P(k)*P(2x-k)
Συνεπώς P(x^2 - (x - k)^2) = 0
Άρα και k*(2x-k) ρίζα
Επομένως έχει άπειρες συνεπώς και P(x) = 0 είναι λύση.
Αλλιώς έχει μία μοναδική ρίζα την x=0.
Άρα τα υπόλοιπα πολυώνυμα που το ικανοποιούν είναι τα P(x) = x^n