Κυρτότητα συνάρτησης

ΘΕΩΡΗΜΑ

Εστω μια συνάρτηση f  σ υ ν ε χ ή ς  σ' ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

● Αν f ʹʹ > 0 για κάθε  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.

● Αν f ʹʹ < 0 για κάθε  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  σημείο x του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση $f(x)=x^3$ (Σχ. 41),

  

— είναι κοίλη στο $(-\infty ,0]$, αφού $fʹʹ(x)=6x<0$, για $xϵ(-\infty ,0)$ και η $f$ είναι συνεχής στο $(-\infty ,0]$ ενώ,

— είναι κυρτή στο $[0,+\infty )$, αφού $fʹʹ(x)=6x>0$, για $xϵ(0,+\infty )$ και η f είναι συνεχής στο $[0,+\infty )$.

ΣΧΟΛΙΟ

Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση $f(x)=x^4$ (Σχ. 42).

Επειδή η $fʹ(x)=4x^3$ είναι γνησίως αύξουσα στο $R$, η $f(x)=x^4$ είναι κυρτή στο $R$. Εντούτοις, η $fʹʹ(x)$ δεν είναι θετική στο $R$, αφού $fʹʹ(0)=0$.

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.