▪ Κυρτότητα συνάρτησης

ΘΕΩΡΗΜΑ

Εστω μια συνάρτηση f  σ υ ν ε χ ή ς  σ' ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

● Αν f ʹʹ > 0 για κάθε  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.

● Αν f ʹʹ < 0 για κάθε  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  σημείο x του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση $f(x) = x^3$ (Σχ. 41),

  

— είναι κοίλη στο $(−∞,0]$, αφού $f ʹʹ(x) = 6x < 0$, για $x ϵ (−∞,0)$ και η $f$ είναι συνεχής στο $(−∞,0]$ ενώ,

— είναι κυρτή στο $[0,+∞)$, αφού $f ʹʹ(x) = 6x > 0$, για $x ϵ (0,+∞)$ και η f είναι συνεχής στο $[0,+∞)$.

ΣΧΟΛΙΟ

Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση $f(x) = x^4$ (Σχ. 42).

Επειδή η $f ʹ(x) = 4x^3$ είναι γνησίως αύξουσα στο $R$, η $f(x) = x^4$ είναι κυρτή στο $R$. Εντούτοις, η $f ʹʹ(x)$ δεν είναι θετική στο $R$, αφού $f ʹʹ(0) = 0$.

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.