▪ Ανισότητα Bernoulli

Να αποδειχτεί ότι για όλους τους θετικούς ακεραίους $v$ με $ν\geq2$ και για όλους τους πραγματικούς $α$ με $α\neq0$ και $α>-1$ ισχύει:

$(1+α)^ν>1+να$.

Απόδειξη

Έστω $P(v)$ η ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε.

• Για $v=2$ η ανισότητα γίνεται: $(1+α)^2>1+2α$, δηλαδή $1+2α+ α^2>1+2α$ που είναι αληθής, αφού για $α\neq0$ ισχύει $α^2>0$. Ώστε $P(2)$ αληθής.

• Θα αποδείξουμε ότι αν $P(v)$ αληθής, τότε και $P(v +1)$ αληθής, δηλαδή:

αν  $(1+α)^ν>1+να$, τότε  $(1+α)^{ν+1}>1+(ν+1)α$.
Έχουμε διαδοχικά:

$(1+α)^ν>1+να$

$(1+α)^{ν}(1+α)>(1+να)(1+α)$,   αφού $1+α>0$

$(1+α)^{ν+1}>1++α +να +να^2$

$(1+α)^{ν+1}>1+(ν+1)α +να^2$

$(1+α)^{ν+1}>1+(ν+1)α$,     αφού $να^2>0$.

Επομένως, η ανισότητα του Bernoulli ισχύει για όλους τους θετικούς ακεραίους $v$ με $ν\geq2$.