▪ Ανισότητα Bernoulli

Να αποδειχτεί ότι για όλους τους θετικούς ακεραίους $v$ με $\nu \ge 2$ και για όλους τους πραγματικούς $\alpha$ με $\alpha \ne 0$ και $\alpha >-1$ ισχύει:

$(1+\alpha {)}^{\nu }>1+\nu \alpha$.

Απόδειξη

Έστω $P(v)$ η ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε.

• Για $v=2$ η ανισότητα γίνεται: $(1+\alpha {)}^2>1+2\alpha$, δηλαδή $1+2\alpha +{\alpha }^2>1+2\alpha$ που είναι αληθής, αφού για $\alpha \ne 0$ ισχύει ${\alpha }^2>0$. Ώστε $P(2)$ αληθής.

• Θα αποδείξουμε ότι αν $P(v)$ αληθής, τότε και $P(v+1)$ αληθής, δηλαδή:

αν  $(1+\alpha {)}^{\nu }>1+\nu \alpha$, τότε  $(1+\alpha {)}^{\nu +1}>1+(\nu +1)\alpha$.
Έχουμε διαδοχικά:

$(1+\alpha {)}^{\nu }>1+\nu \alpha$

$(1+\alpha {)}^{\nu }(1+\alpha )>(1+\nu \alpha )(1+\alpha )$,   αφού $1+\alpha >0$

$(1+\alpha {)}^{\nu +1}>1++\alpha +\nu \alpha +\nu {\alpha }^2$

$(1+\alpha {)}^{\nu +1}>1+(\nu +1)\alpha +\nu {\alpha }^2$

$(1+\alpha {)}^{\nu +1}>1+(\nu +1)\alpha$,     αφού $\nu {\alpha }^2>0$.

Επομένως, η ανισότητα του Bernoulli ισχύει για όλους τους θετικούς ακεραίους $v$ με $\nu \ge 2$.