▪ Η εξίσωση Ax^2 + By^2 + Γx + Δy + E

Μεταφορά Αξόνων

Η εξίσωση ενός κύκλου με ακτίνα ρ έχει την απλή μορφή $x^2 + y^2 = ρ^2$, αν η αρχή του συστήματος συντεταγμένων $O(0,0)$ είναι το κέντρο του κύκλου. Αν όμως το κέντρο του κύκλου δεν είναι η αρχή των αξόνων αλλά το σημείο $O'(x_0,y_0)$, τότε η εξίσωσή του έχει την πιο σύνθετη μορφή

$(x - x_0)^2 + (y -y_0)^2 =ρ^2$. 

Αυτό δείχνει ότι η μορφή της εξίσωσης μιας καμπύλης εξαρτάται από τη σχετική θέση της καμπύλης και των αξόνων.

Ας υποθέσουμε ότι σε ένα επίπεδο έχουμε μια καμπύλη και την εξίσωσή της ως προς ένα σύστημα συντεταγμένων $Oxy$. Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της ίδιας καμπύλης ως προς ένα "νέο" σύστημα συντεταγμένων, του οποίου η αρχή θα είναι το σημείο $O'(x_0,y_0)$ και οι άξονες $X'OX$ και $Y'OY$ θα είναι παράλληλοι και ομόρροποι προς τους άξονες του "παλιού" συστήματος. Λέμε στην περίπτωση αυτή ότι το σύστημα $O'XY$ έχει προκύψει με παράλληλη μεταφορά των αξόνων του συστήματος $Oxy$.

Έστω λοιπόν $x$ και $y$ οι συντεταγμένες ενός σημείου $Μ$ ως προς το παλιό σύστημα, και $X$ και $Y$ οι συντεταγμένες του ίδιου σημείου ως προς το νέο σύστημα. Έχουμε

Επομένως, $x=x_0 + X$ και $y=y_0 + Y$ ή, ισοδύναμα,

Έτσι για παράδειγμα, αν οι συντεταγμένες ενός σημείου $Μ$ ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα είναι $(4, -3)$ και η αρχή $O(0,0)$ μετακινηθεί με τη μεταφορά των αξόνων στο σημείο $O'( -1,2)$, τότε οι νέες συντεταγμένες του $Μ$ είναι $X =4 - ( -1)=5$ και $Y = -3 -2= -5$.

Έστω επίσης η εξίσωση $(x - 2)^2 + (y +1)^2 = 9$, που παριστάνει κύκλο με κέντρο $K(2, -1)$ και ακτίνα $ρ=3$. Αν με μια παράλληλη μεταφορά των αξόνων η αρχή $O(0,0)$ μετακινηθεί στο κέντρο του κύκλου, τότε οι καινούριες συντεταγμένες $(X,Y)$ ενός σημείου $Μ$ του κύκλου είναι $X= x - 2$ και $Y = y - (-1) = y + 1$. Επομένως η εξίσωση του κύκλου ως προς το νέο σύστημα αξόνων έχει την απλούστερη μορφή $X^2+ Y^2=9$.
Από το βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Β΄ Λυκείου.