▪ Ο Αχιλλέας, η χελώνα και τα όρια στα μαθηματικά

Του Κώστα Καρπούζη

Σίγουρα έχουμε όλοι ακούσει για το μύθο του Αισώπου με το λαγό και τη χελώνα, όπου η επιμονή και υπομονή της χελώνας καταφέρνει τελικά να υπερνικήσει την ταχύτητα, αλλά και την υπεροψία του λαγού. Τι θα λέγατε αν …χοντραίναμε λίγο το «παιχνίδι» και στη θέση του λαγού, να λάμβανε μέρος σε αυτόν τον ιδιότυπο αγώνα ένας υπερήρωας της αρχαιότητας, ο φτερωτός Αχιλλέας; Και μάλιστα, για να αναδειχθεί πόσο …γαλαντόμος είναι ο ήρωας της ιστορίας μας, θα δώσει στη χελώνα τη δυνατότητα να προπορευθεί, πριν αυτός αρχίζει να την κυνηγάει. Ο αγώνας μας όμως έχει και έναν πρόσθετο, περίεργο κανονισμό: οι δύο συμμετέχοντες δεν τρέχουν συνέχεια, αλλά ανάμεσα σε δύο διαδοχικά σήματα του αγωνοδίκη, ο Αχιλλέας έχει δικαίωμα να καλύψει την απόσταση που τον χώριζε από τη χελώνα κατά την προηγούμενη διακοπή, ενώ η χελώνα παράλληλα προχωράει, με μικρότερη βέβαια ταχύτητα από τον ήρωά μας. Άραγε θα καταφέρει ο μυθικός βασιλιάς των Μυρμιδόνων να φτάσει και, γιατί όχι, να ξεπεράσει το αργοκίνητο, αλλά επίμονο ζωάκι;

Η παραπάνω ιστορία είναι, σε περίληψη, μια σκέψη του Ζήνωνα του Ελεάτη, ενός από τους σημαντικούς φιλοσόφους της αρχαιότητας, που έζησε στην Αθήνα κατά την εποχή του Περικλή και του Καλλία. Ας δούμε το «παράδοξο του Ζήνωνα» λίγο πιο αναλυτικά και για λόγους απλότητας, ας θεωρήσουμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει με διπλάσια ταχύτητα από τη χελώνα (άνετα!) και ότι η χελώνα ξεκινάει με προβάδισμα ενός μέτρου. Στον πρώτο γύρο του αγώνα, ο Αχιλλέας θα καλύψει την απόσταση που τον χώριζε από τη χελώνα, δηλαδή 1 μέτρο, ενώ η χελώνα, που τρέχει με τη μισή ταχύτητα, θα προχωρήσει κατά ½ μέτρο, κι έτσι θα προπορεύεται κατά ½ μέτρο στον επόμενο γύρο. Στον δεύτερο γύρο, ο Αχιλλέας θα καλύψει το μισό αυτό μέτρο, αλλά η χελώνα θα διανύσει ακόμα ¼ του μέτρου, κοκ. Συνοπτικά, για τη διαδρομή του Αχιλλέα σε κάθε γύρο θα έχουμε: 

Γύρος	Κλασματική απόσταση	Δεκαδική απόσταση
1	1	1
2	1/2	0.5
3	1/4	0.25
4	1/8	0.125
5	1/16	0.0625
6	1/32	0.03125
7	1/64	0.015625
8	1/128	0.0078125
9	1/256	0.00390625
10	1/512	0.001953125
11	1/1024	0.0009765625

Μετά λοιπόν από μόνο 11 γύρους του αγώνα μας, ο μυθικός ήρωας θα προχωρά κατά μόνο 1 εκατοστό του εκατοστού! Συνεχίζοντας να προσθέτουμε γραμμές σε αυτόν τον πίνακα, γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι μετά από άπειρους γύρους, η απόσταση που θα διανύει ο ήρωάς μας θα τείνει στο μηδέν. Αν τώρα δούμε τη συνολική απόσταση που τρέχει ο Αχιλλέας, θα έχουμε τη σειρά 

1+(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+(1/32)+....+(1/2ⁿ)+... 

η οποία τείνει οριακά στην τιμή 2. Αυτή η θεώρηση μπορεί να δώσει τροφή σε μια σειρά από ενδιαφέρουσες συζητήσεις, όπως για παράδειγμα, αν πραγματικά ο Αχιλλέας θα φτάσει τη χελώνα: αν ακολουθήσουμε την κλασική θεωρία των Μαθηματικών, η απόσταση του Αχιλλέα από τη χελώνα θα μειώνεται συνέχεια, αλλά ποτέ δε θα φτάσει στο μηδέν, μια που όσο κι αν προχωράει ο βασιλιάς των Μυρμιδόνων, στον ίδιο γύρο η χελώνα έχει διανύσει ένα πρόσθετο, στοιχειώδες βηματάκι. Αυτή ακριβώς είναι και η φυσική σημασία του ορίου μιας συνάρτησης στα Μαθηματικά: η τιμή της συνάρτησης μπορεί να πλησιάζει την οριακή τιμή, δηλαδή το μηδέν, αν κοιτάξουμε την απόσταση που διανύει σε κάθε βήμα ο ήρωάς μας, αλλά δε θα γίνει ποτέ πραγματικά ίση με αυτό.

Αν, από την άλλη, δούμε το παράδοξο από την πλευρά των υπολογιστών, η παραπάνω θεώρηση απαιτεί άπειρη ακρίβεια, δηλαδή άπειρο αριθμό όρων στο παραπάνω άθροισμα, κάτι που δεν είναι δυνατό να γίνει με τους υπολογιστές. Άρα, κάποια στιγμή η θέση του Αχιλλέα και αυτή της χελώνας θα συμπίπτουν, αφού θα γίνει στρογγυλοποίηση στο πλησιέστερο δεκαδικό ψηφίο που «χωράει» στην ακρίβεια των υπολογισμών μας. Αντίστοιχη με αυτό είναι και η άποψη του μηχανικού στο κλασικό (;) ανέκδοτο με τον αγώνα δρόμου ανάμεσα σε αυτόν και έναν μαθηματικό, που τελειώνει με την αποστροφή "κάτσε να φτάσω ένα μέτρο από το νήμα και θα σου πω εγώ..."

Πηγή : http://www.openscience.gr