Δίνεται τετράγωνο ABCD πλευράς 2, και X σημείο εξωτερικό του τετραγώνου, τέτοιο ώστε AX = XB =√2. Να βρεθεί το μήκος της μεγαλύτερης διαγωνίου του πενταγώνου AXBCD?
(DX)=(CX)= √10. Το σημείο Χ βρίσκεται στη μεσοκάθετο της ΑΒ και σε απόσταση 1 από το μέσο της Μ. Άρα, ΜΑΧ=45ο. Άρα, ΒΑΧ=135ο. Σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων: (DX)2=(ΑΧ)2+(AD)2-2(ΑΧ)(ΑD)cos(DAX), όπου: (AD)=2, (AX)= √2 και cos(DAX)= √2/2. Άρα, (DX)= √10.
ΜIT - Harvard Tournament 2012
ΜIT - Harvard Tournament 2012
Το τρίγωνο AXB είναι ισοσκελές ορθογώνιο κι έτσι η
ΑπάντησηΔιαγραφήγωνία <XAD=135°. Από το τρίγωνο XAD με θεώρημα συνημιτόνου προκύπτει XD=sqrt(10)
(DX)=(CX)= √10.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο σημείο Χ βρίσκεται στη μεσοκάθετο της ΑΒ και σε απόσταση 1 από το μέσο της Μ. Άρα, ΜΑΧ=45ο. Άρα, ΒΑΧ=135ο.
Σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων: (DX)2=(ΑΧ)2+(AD)2-2(ΑΧ)(ΑD)cos(DAX), όπου:
(AD)=2, (AX)= √2 και cos(DAX)= √2/2.
Άρα, (DX)= √10.