▪ Ωραίο θέμα

Μία πολύ καλή άσκηση από βιβλίο του Γιάννη Μπαϊλάκη.

Έστω , δύο φορές παραγωγίσιμη με και .

Νδο:

1) Η έχει ελάχιστο και μέγιστο εκ των οποίων ένα τουλάχιστον είναι το ή το .

2) 

3)Υπάρχει εφαπτομένη της που περνάει από τη αρχή των αξόνων.

4) Η εξίσωσή έχει μία ακριβώς λύση στο .

Λύση

Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο και επιπλέον έχει και συνεχή πρώτη παράγωγο στο ίδιο διάστημα.

Επιπλέον ως συνεχής σε κλειστό διάστημα θα έχει σίγουρα μέγιστη κι ελάχιστη τιμή. Αν υποθέσουμε πως και τις δύο τις ''πιάνει'' σε εσωτερικά σημεία του διαστήματος με τετμημένες, ας πούμε

τότε λόγω Fermat προκύπτει: . Τώρα εφαρμόζοντας το Θ.Rolle για την πρώτη παράγωγο, εύκολα προκύπτει  για κάποιο του .

Αυτό όμως είναι άτοπο από τη δοθείσα συνθήκη για τη δεύτερη παράγωγο. Επομένως τουλάχιστον ένα από τα αποτελούν ακρότατα της συνάρτησης.

 Εύκολα από το Θ.Μ.Τ βρίσκουμε στο , ώστε . 

Όμως η πρώτη παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση, επομένως:

Αρκεί να δείξουμε ότι: (θεωρώντας την εξίσωση εφαπτομένης της γρ.παράστασης στο

και απαιτώντας να διέρχεται από το ).

Θεωρώ τη συνάρτηση με τύπο στο και εκμεταλλευόμενος τη συνέχεια της πρώτης παραγώγου,φτάνω στο ποθητόν με Bolzano...

Για να έχει λύση η αρκεί το να βρίσκεται στο σύνολο τιμων της .Όμως και από το δεύτερο ερώτημα .

Άρα

  .

Άρα από το θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής, η συνεχής συνάρτηση παίρνει την τιμή η οποία βρίσκεται ανάμεσα στα και .

Πηγή: mathematica