Τρίτη 24 Ιανουαρίου 2012

▪ a - b - c

Έστω a, b και c τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ABC. Αν ισχύει ab + bc + ca = 1, να αποδειχθεί ότι:
(a + 1)(b + 1)(c + 1) < 4.
BMO Round 1 - 2010
free british flag union jack animation
Αναρτήθηκε από στις 24.1.12
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. Ανώνυμος30 Ιανουαρίου 2012 στις 10:19 μ.μ.

    Από τη a.b+b.c+a.c=1(σχέση *),έχω a.(b+c)+b.c=1 (σχέση 1) και a=(1-b.c)/(b+c)(σχέση 2).
    Λόγω της τριγωνικής ανισότητας, ισχύει a<b+c (σχέση 3). Από την σχέση 1, έχω b.c<1 (σχέση 4)και έτσι b<(1/c)(σχέση 5). Από την σχέση 1, έχω επίσης a.(b+c)<1 (σχέση 6),και έτσι b+c<(1/a) (σχέση 7). Από τις 3&7, ισχύει a<(1/a)(σχέση 8),δηλ.a ανήκει στο διάστημα (0,1),και (a.a)<1(σχέση 9). Ομοίως b<1,(b.b)<1 και c<1,(c.c)<1.
    Άρα (a+1).(b+1).(C+1)=(c+1).(ab+a+b+1)
    =abc+ac+bc+c+ab+a+b+1
    =abc+1+a+b+c+1=abc+a+b+c+2,από την 5 αυτό είναι
    <a.(1/c).c+a+b+c+2=a+a+b+c+2=2a+b+c+2,από την 2 αυτό ισούται με [2.(1-bc)/(b+c)]+(b+c)+2=[(b.b+c.c+2)/(b+c)]+2,το οποίο από τις 8&9 γίνεται <[(1+1+2)/(1+1)]+2=4/2+2=2+2=4.
    Αναστασία

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)