Δίνεται κύκλος (Ο, R) διαμέτρου AB και δυο κάθετες ακτίνες του OΓ, ΟΔ. Φέρουμε ΓΕ και ΔΖ κάθετες στην ΑΒ (Ε, Ζ σημεία της ΑΒ) και έστω Κ, Λ τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων των ορθογωνίων τριγώνων αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
α) Τα ορθογώνια τα τρίγωνα ΟΕΓ και ΟΖΔ είναι ίσα.
β) Το ΚΛΤΣ είναι ορθογώνιο, όπου Σ, Τ τα σημεία επαφής της διαμέτρου ΑΒ με τους εγγεγραμμένους κύκλους των ορθογωνίων τριγώνων ΟΕΓ, ΟΖΔ αντίστοιχα.
γ) ΚΛ = R.
Παγκύπριος Μαθηματικός διαγωνισμός 2009 (Α Λυκείου)
απλή και καλή για το μαθητικό διαγωνισμό.
ΑπάντησηΔιαγραφήa)Υποτείνουσες και από μια οξεία γωνία ίση λόγω καθετότητας των ακτίνων.
β) Λόγω του α) οι εγγεγραμμένοι κύκλοι ίσοι και άρα έχουν ίσες ακτίνες δηλ ΚΣ=//ΛΤ κι αφού ειναι κάθετες στην ΑΒ το ΚΛΤΣ ορθογώνιο.
γ) Αν Η,Θ τα σημεία επαφής των πιο πάνω κύκλων με τις ακτίνες ΟΓ,ΟΔ αντίστοιχα έχουμε
ΚΛ=ΤΣ=ΟΤ+ΟΣ=ΟΘ+ΟΗ=ΗΓ+ΟΗ=ΟΓ=R