▪ Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας

Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας είναι ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα της Άλγεβρας. Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής με μιγαδικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Σύμφωνα με την ορολογία της Γραμμικής Άλγεβρας, το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας ισοδυναμεί με το γεγονός ότι το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό.

Η πρώτη αναφορά στην ουσία του θεωρήματος έγινε από τον Peter Rothe (Petrus Roth) στο βιβλίο του Arithmetica Philosophica (1608), όπου σημείωνε ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση βαθμού n (με πραγματικούς συντελεστές) μπορεί να έχει n λύσεις. Έπειτα, ο Albert Girard, στο βιβλίο του L'invention nouvelle en l'Algèbre του 1629, ισχυρίστηκε ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση βαθμού n έχει n λύσεις, χωρίς όμως να δηλώνει ότι χρειάζεται να είναι πραγματικοί αριθμοί. Η πρώτη απόπειρα απόδειξης του θεωρήματος έγινε από το Γάλλο μαθηματικό και φιλόσοφο D'Alambert το 1746, αλλά η απόδειξη του ήταν ατελής.
Για παράδειγμα, προαπαιτούσε την ισχύ ενός θεωρήματος (που είναι σήμερα γνωστό ως θεώρημα Puiseux), το οποίο όμως αποδείχuηκε μόλις έναν αιώνα μετά και μάλιστα η απόδειξη του βασιζόταν στο θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Προσπάθειες για την απόδειξη του θεωρήματος έγιναν και από άλλους μαθηματικούς, όπως οι Euler (1749), Lagrange (1772), και Laplace (1795). Όλες αυτές οι προσπάθειες βασίζονταν ουσιαστικά στον ισχυρισμό του Girard. Για την ακρίβεια, δέχονταν την ύπαρξη αυτών των λύσεων οπότε προσπαθούσαν να αποδείξουν ότι οι λύσεις είχαν τη μορφή a + bi για κάποιους πραγματικούς a και b. Στα τέλη του 18ου αιώνα εμφανίστηκαν δύο νέες και καλύτερες απόπειρες απόδειξης του θεωρήματος. Η πρώτη ήταν του James Wood, δημοσιεύθηκε το 1798 και ήταν κυρίως αλγεβρική, αλλά αγνοήθηκε εντελώς καθώς είχε κενά. Αντίθετα, πιο γνωστή έγινε η δεύτερη απόπειρα απόδειξης, που ήταν γεωμετρική και δημοσιεύθηκε ένα έτος αργότερα, το 1799, από το Γερμανό μαθηματικό Carl Friedrich Gauss. Και πάλι, όμως, η απόδειξη δεν ήταν πλήρης.