▪ Eötvös Μath Competition 1894 - 1946

1. Αν x² + y² = u² + v² = 1 και xu + yv = 0, όπου x, y, u, v, πραγματικοί αριθμοί, να βρείτε την τιμή της παράστασης 

xy + uv.

2. Αν οι αριθμοί a, b ικανοποιούν την ισότητα a² - 3ab + 2b² + a - b = a² - 2ab + b² - 5a + 7b = 0, τότε θα ισχύει 

ab - 12a + 15b = 0.

3. Οι ρίζες της εξίσωσης x² - (a + d) x + ad - bc = 0 είναι α και β. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α³ και β³ είναι ρίζες της εξίσωσης

 x² - (a³ + d³ + 3abc + 3bcd) x + (ad - bc)³ = 0.

4. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει α² + β² + γ² = 1, να αποδείξετε ότι

 -1/2 ≤ αβ + βγ + γα ≤ 1.

5. Για τους πραγματικούς αριθμούς a, b, c ισχύει ότι |ax² + bx + c| ≤ 1, για κάθε x ≤ |1|. Να αποδείξετε ότι |2ax + b| ≤ 4, για κάθε |x| ≤ 1.

6.  Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1/x + 1/(x-a) + 1/(x+b) = 0 έχει δύο πραγματικές ρίζες, μία στο διάστημα [a/3, 2a/3] και μία στο [-2b/3, -b/3].

7. Τα τριώνυμα ax² + 2bx + c και Ax² + 2Bx + C είναι μη αρνητικά για κάθε πραγματικό αριθμό x. Να αποδείξετε ότι και το τριώνυμο aAx² + 2bBx + cC είναι μη αρνητικό για κάθε πραγματικό αριθμό x.

8. Να αποδείξετε ότι  (a + a')(c + c') ≥ (b + b')², για όλους τους πραγματικούς αριθμούς a, a', b, b', c, c' τέτοιους ώστε aa' > 0, ac ≥ b², a'c' ≥ b'².

9. Να αποδείξετε ότι:

 (1+x)(1+x²)(1+x⁴) ... (1+x^2n-1) = 1 + x + x² + x³ + ... + x^2n-1.