▪Λογαριθμικές ή ισογώνιες σπείρες

Της Ειρήνης Περυσινάκη
Ας μελετήσουμε το εξής πρόβλημα: Έχουμε τέσσερα σκαθάρια στις κορυφές ενός τετραγώνου και υποθέτουμε ότι καθένα κυνηγά το επόμενό του, όπως φαίνεται στο σχήμα 1(α). Αν οι ταχύτητές τους είναι ίσες, το ερώτημα είναι τι τροχιές θα διαγράψουν;

1α

Για να πάρουμε μια ιδέα για το τι θα συμβεί, ας δούμε βήμα προς βήμα σε «αργή κίνηση» πώς εξελίσσεται η πορεία των σκαθαριών: Για πολύ μικρό διάστημα τα σκαθάρια κινιούνται επάνω στις πλευρές του τετραγώνου.

1β

Σχεδόν αμέσως όμως, αλλάζουν κατεύθυνση γιατί τώρα οι θέσεις που καταλαμβάνουν είναι οι κορυφές ενός άλλου τετραγώνου που περιέχεται στο πρώτο (σχήμα 1β).

1γ

Κατ’ αυτόν τον τρόπο συνεχώς σχεδόν στιγμιαία κινούνται στις πλευρές μίας ατέλειωτης σειράς τετραγώνων που το ένα περιέχεται στο άλλο όπως δείχνει και το σχήμα 1γ.
Τελικά, η πορεία τους βλέπουμε ότι είναι μία καμπύλη. Αυτή η καμπύλη λέγεται λογαριθμική ή ισογώνια σπείρα.

2α

Μία παραλλαγή του παραπάνω προβλήματος θα μας οδηγούσε σε άλλα είδη λογαριθμικών σπειρών. Για παράδειγμα, αν είχαμε τρία σκαθάρια στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου ή έξι σκαθάρια στις κορυφές κανονικού εξαγώνου, θα παίρναμε τις σπείρες στο σχήμα 2.α ή 2.β αντίστοιχα.

2β

Η τόσο απλή κατασκευή λογαριθμικών σπειρών με τετράγωνα ή τρίγωνα που το ένα περιέχει το άλλο, ενέπνευσε σύγχρονους καλλιτέχνες στις δημιουργίες τους. Μάλιστα δημιουργήθηκε ολόκληρο καλλιτεχνικό ρεύμα γνωστό σαν οπτική ή μαθηματική τέχνη (op art στα αγγλικά).

2γ

Ένα τέτοιο παράδειγμα φαίνεται στο σχήμα 2.γ που είναι συνδυασμός ισόπλευρων τριγώνων όμοιων με αυτό του σχήματος 2.α και των κατοπτρικών τους.