Κυριακή 11 Σεπτεμβρίου 2011

▪ Τώρα τι κάνουμε;

Να λυθεί η εξίσωση:
Αναρτήθηκε από στις 11.9.11
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. Ανώνυμος11 Σεπτεμβρίου 2011 στις 8:32 μ.μ.

    Το πρώτο μέλος της δοθείσας εξίσωσης είναι γινόμενο των πολυωνύμων:
    χ+1
    χ^2 - χ + 1
    χ^6 + χ^4 + χ^2 + 1.
    Το πρώτο έχει ρίζα το -1
    Το δεύτερο δεν έχει ρίζες (αρνητική διακρίνουσα).
    Το τρίτο με τον μετασχηματισμό χ^2 = ω (με ω>0) γράφεται: Ρ(ω)= ω^3 + ω^2 + ω + 1
    και είναι Ρ(-1)=0 δηλ ω=-1 (απορρίπτεται, ω>0).
    Σαν πολυωνυμική συνάρτηση το Ρ(ω)έχει παράγωγο
    Ρ΄(ω)=3ω^2 + 2ω + 1 ή οποία είναι θετική για κάθε ω (Δ=4-4*3*1=-8<0)και επομένως γνησίως αύξουσα. Αρα η ρίζα ω=-1 είναι μοναδική του Ρ(ω).
    Επομένως ή δοθείσα εξίσωση έχει μία μόνο πραγματική ρίζα την χ=-1.
    Στο σύνολο των μιγαδικών εκτός της πραγματικής χ=-1θα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι ρίζες των
    χ^2 - χ + 1 [χ=(1+sqr(3)i)/2, χ=(1-sqr(3)i)/2]
    χ^2 + 1 = 0 [x=i, x=-i]
    χ^4 + 1 = 0 [x=1/2+sqr(2)/2, x=-1/2+sqr(2)/2, x=-1/2-sqr(2)/2, x=1/2-sqr(2)/2].

    N. Lntzs

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)