Πρόταση
Όλα τα τρίγωνα είναι ισοσκελή. Απόδειξη
Έστω τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ και Η το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας Α και της μεσοκαθέτου της πλευράς ΒΓ. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΕΗ και ΑΗΖ είναι ίσα, επειδή έχουν ίσες γωνίες και την πλευρά ΑΗ κοινή, άρα ΑΕ = ΑΖ (1). Επίσης τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΗΔ και ΔΗΓ είναι ίσα, επειδή έχουν ΒΔ = ΔΓ και ΒΗ = ΗΓ, άρα ΒΗ = ΗΓ. Οπότε από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων ΒΕΗ και ΗΖΓ, επειδή ΒΗ = ΗΓ και ΕΗ = ΗΖ, συμπεραίνουμε ότι ΒΕ = ΖΓ (2). Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) έχουμε ΑΒ = ΑΓ.
Που βρίσκεται το λάθος;
Που βρίσκεται το λάθος;
Η τομή της διχοτόμου γωνίας τριγώνου και της μεσοκαθέτου της απέναντι πλευράς είναι σημείο του περίκυκλου του τριγώνου δηλαδή ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ στο εσωτερικό του τριγώνου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυμπλήρωση στο σχόλιο του Doloros: Εκτός από μία ειδική περίπτωση όπου όντως το σημείο Η είναι εντός του τριγώνου όπως φαίνεται στο σχήμα. Τότε αφού αποδείχτηκαν σωστά οι ισότητες των τριγώνων, ισχύουν οι παρακάτω ισότητες γωνιών: ΒΗΔ=ΔΗΓ, ΒΗΕ=ΓΗΖ και ΕΗΑ=ΖΗΑ. Από αυτές συμπεραίνουμε πως η αριστερή πλευρά της γωνίας ΑΗΔ είναι ίση με τη δεξιά πλευρά της. Αυτό συμβαίνει μόνο όταν η γωνία ΑΗΔ είναι ευθεία. Οπότε η ΑΔ είναι διχοτόμος, ύψος και διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ, οπότε όντως το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
ΑπάντησηΔιαγραφή