Π ρ ο β λ ή μ α τ α κ α ὶ
Θ ε ω ρ ή μ α τ α
__________________________________________________
εʹ Θ ε ώ ρ η μ α
Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῆι βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.
Ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ πλευρὰν τῆι ΑΓ πλευρᾶι, καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπ' εὐθείας ταῖς ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι αἱ ΒΔ, ΓΕ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῆι ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῆι ὑπὸ ΒΓΕ.
Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΔ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀφηιρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΕ τῆι ἐλάσσονι τῆι ΑΖ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, ΗΒ εὐθεῖαι.
Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΖ τῆι ΑΗ ἡ δὲ ΑΒ τῆι ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΗΑ, ΑΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέραι· καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν ὑπὸ ΖΑΗ· βάσις ἄρα ἡ ΖΓ βάσει τῆι ΗΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΖΓ τρίγωνον τῶι ΑΗΒ τριγώνωι ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέραι, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ τῆι ὑπὸ ΑΒΗ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΓ τῆι ὑπὸ ΑΗΒ. καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅληι τῆι ΑΗ ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ΑΒ τῆι ΑΓ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ λοιπῆι τῆι ΓΗ ἐστιν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΓ τῆι ΗΒ ἴση· δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΓ δυσὶ ταῖς ΓΗ, ΗΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέραι· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνίαι τῆι ὑπὸ ΓΗΒ ἴση, καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΒΓ· καὶ τὸ ΒΖΓ ἄρα τρίγωνον τῶι ΓΗΒ τριγώνωι ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέραι, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΓ τῆι ὑπὸ ΗΓΒ ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΖ τῆι ὑπὸ ΓΒΗ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία ὅληι τῆι ὑπὸ ΑΓΖ γωνίαι ἐδείχθη ἴση, ὧν ἡ ὑπὸ ΓΒΗ τῆι ὑπὸ ΒΓΖ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ λοιπῆι τῆι ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση· καί εἰσι πρὸς τῆι βάσει τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῆι ὑπὸ ΗΓΒ ἴση· καί εἰσιν ὑπὸ τὴν βάσιν.
Τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῆι βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Πηγή: BIBLIOTHECA AUGUSTANA
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου