▪ Στοιχεία Ευκλείδη - Βιβλίο α', πρόβλημα ς΄

Β ι β λ ί ο ν αʹ
Π ρ ο β λ ή μ α τ α κ α ὶ
Θ ε ω ρ ή μ α τ α
__________________________________________________

     ςʹ Θ ε ώ ρ η μ α

Ἐὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίαις ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται. 

Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῆι ὑπὸ ΑΓΒ γωνίαι· λέγω, ὅτι καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ πλευρᾶι τῆι ΑΓ ἐστιν ἴση. 

Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῆι ΑΓ, ἡ ἑτέρα αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ ἀφηιρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῆι ἐλάττονι τῆι ΑΓ ἴση ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. 

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῆι ΑΓ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέραι, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίαι τῆι ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΔΓ βάσει τῆι ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον τῶι ΑΓΒ τριγώνωι ἴσον ἔσται, τὸ ἔλασσον τῶι μείζονι· ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῆι ΑΓ· ἴση ἄρα. 

Ἐὰν ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Πηγή: BIBLIOTHECA AUGUSTANA