▪ Στοιχεία Ευκλείδη - Βιβλίο α', πρόβλημα ζ΄

Β ι β λ ί ο ν αʹ
Π ρ ο β λ ή μ α τ α κ α ὶ
Θ ε ω ρ ή μ α τ α
__________________________________________________

     ζʹ Θ ε ώ ρ η μ α

Ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέραι οὐ συσταθήσονται πρὸς ἄλλωι καὶ ἄλλωι σημείωι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις. 

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἄλλαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέραι συνεστάτωσαν πρὸς ἄλλωι καὶ ἄλλωι σημείωι τῶι τε Γ καὶ Δ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΓΑ τῆι ΔΑ τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῆι τὸ Α, τὴν δὲ ΓΒ τῆι ΔΒ τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῆι τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ. 

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆι ΑΔ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῆι ὑπὸ ΑΔΓ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῆς ὑπὸ ΔΓΒ· πολλῶι ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΔΒ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΔΓΒ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆι ΔΒ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνίαι τῆι ὑπὸ ΔΓΒ. ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῶι μείζων· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. 

Οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέραι συσταθήσονται πρὸς ἄλλωι καὶ ἄλλωι σημείωι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Πηγή: BIBLIOTHECA AUGUSTANA