▪ Στοιχεία Ευκλείδη - Βιβλίο α', πρόβλημα α΄

Β ι β λ ί ο ν αʹ
Π ρ ο β λ ή μ α τ α  κ α ὶ
Θ ε ω ρ ή μ α τ α
__________________________________________________

     αʹ Π ρ ό β λ η μ α

Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι.

Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ. Δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι. Κέντρωι μὲν τῶι Α διαστήματι δὲ τῶι ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΓΔ, καὶ πάλιν κέντρωι μὲν τῶι Β διαστήματι δὲ τῶι ΒΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΓΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου, καθ' ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι, ἐπὶ τὰ Α, Β σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΓΑ, ΓΒ. Καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΒ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆι ΑΒ· πάλιν, ἐπεὶ τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΑΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆι ΒΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ τῆι ΑΒ ἴση· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΓΑ, ΓΒ τῆι ΑΒ ἐστὶν ἴση. τὰ δὲ τῶι αὐτῶι ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα· καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῆι ΓΒ ἐστὶν ἴση· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, καὶ συνέσταται ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τῆς ΑΒ. [Ἐπὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον ἰσόπλευρον συνέσταται]· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Πηγή: BIBLIOTHECA AUGUSTANA