▪ Στοιχεία Ευκλείδη - Βιβλίο α', πρόβλημα β΄

Β ι β λ ί ο ν αʹ Π ρ ο β λ ή μ α τ α κ α ὶ
Θ ε ω ρ ή μ α τ α

__________________________________________________

     βʹ Π ρ ό β λ η μ α

Πρὸς τῶι δοθέντι σημείωι τῆι δοθείσηι εὐθείαι ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.

Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ· δεῖ δὴ πρὸς τῶι Α σημείωι τῆι δοθείσηι εὐθείαι τῆι ΒΓ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι. 

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ Β σημεῖον εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ συνεστάτω ἐπ' αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ' εὐθείας ταῖς ΔΑ, ΔΒ εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ, καὶ κέντρωι μὲν τῶι Β διαστήματι δὲ τῶι ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΗΘ, καὶ πάλιν κέντρωι τῶι Δ καὶ διαστήματι τῶι ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ. 

Ἐπεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΗΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆι ΒΗ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΚΛΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῆι ΔΗ, ὧν ἡ ΔΑ τῆι ΔΒ ἴση ἐστίν. λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛ λοιπῆι τῆι ΒΗ ἐστὶν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῆι ΒΗ ἴση· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΛ, ΒΓ τῆι ΒΗ ἐστὶν ἴση. τὰ δὲ τῶι αὐτῶι ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα· καὶ ἡ ΑΛ ἄρα τῆι ΒΓ ἐστὶν ἴση. 

Πρὸς ἄρα τῶι δοθέντι σημείωι τῶι Α τῆι δοθείσηι εὐθείαι τῆι ΒΓ ἴση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Πηγή: BIBLIOTHECA AUGUSTANA