Γνωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρνητική διακρίνουσα δεν έχει λύση στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών. Ειδικότερα η εξίσωση x2 = - 1 δεν έχει λύση στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός. Για να ξεπεράσουμε την “αδυναμία” αυτή, διευρύνουμε το σύνολο R σε ένα σύνολο C, το οποίο να έχει τις ίδιες πράξεις με το R, τις ίδιες ιδιότητες των πράξεων αυτών και στο οποίο να υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης x2 = - 1, δηλαδή ένα στοιχείο i, τέτοιο, ώστε i2 = - 1. Σύμφωνα με τις παραδοχές αυτές το διευρυμένο σύνολο C θα έχει ως στοιχεία:
· Όλους τους πραγματικούς αριθμούς
· Όλα τα στοιχεία της μορφής βi, που είναι γινόμενα των στοιχείων του R με το I και
· Όλα τα αθροίσματα της μορφής α + βi, με α και β πραγματικούς αριθμούς.
Τα στοιχεία του C λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το C σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Επομένως:
Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου R των πραγματικών αριθμών, στο οποίο:
· Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, έτσι ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο R, με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα (1) το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού,
· Υπάρχει ένα στοιχείο i, τέτοιο, ώστε i2 = - 1,
· Κάθε στοιχείο z του C γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή z = α + βi, όπου α, β πραγματικοί αριθμοί.
Η έκφραση α + βi είναι ακριβώς ό,τι λέμε μιγαδικό αριθμό. Είναι η σύνθεση δύο αριθμών, του πραγματικού α και του βi, τον οποίο ονομάζουμε φανταστικό αριθμό.
Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του z και σημειώνεται Re(z), ενώ ο β λέγεται φανταστικό μέρος του z και σημειώνεται Im(z). Επιπλέον, στο C κάθε πραγματικός αριθμός α εκφράζεται ως α + 0i, ενώ κάθε φανταστικός αριθμός βi εκφράζεται ως 0 + βi. Στη συνέχεια, όταν λέμε ο μιγαδικός z = α + βi, εννοούμε ότι οι α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα.
Από το σχολικό βιβλίο "Μαθηματικά κατεύθυνσης" Γ Λυκείου.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου