Έχουμε 200 αυγά τα οποία θέλουμε να τα τοποθετήσουμε μέσα σε καλάθια, με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε καλάθι να περιέχει διαφορετικό αριθμό αυγών. Να βρεθεί, ο μέγιστος αριθμός των καλα-θιών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε αυτήν την διαδικασία.Μαθηματικός διαγωνισμός "Θαλής" 1995
Για να πετύχω τον μέγιστο αριθμό καλαθιών με τους περιορισμούς του προβλήματος, θα πρέπει να βάζω όσο το δυνατόν λιγότερα αυγά σε κάθε
ΑπάντησηΔιαγραφήκαλάθι. Έτσι στο πρώτο καλάθι, βάζω 1 αυγό, στο δεύτερο 2 αυγά. στο τρίτο 3 αυγά κλπ, ..., στο νιοστό βάζω n αυγά.
Θέλω να είναι :
1+2+3+…+n=200
Αλλά γνωρίζουμε ότι :
1+2+3+…+n=[n*(n+1)]/2 === 200=[n*(n+1)]/2 ===
200*2=[n*(n+1)]/2 === 400=[n*(n+1)]
Παρατηρούμε ότι ο 400 δεν γράφεται σαν γινόμενο δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών, όμως προσεγγίζουμε την λύση της εξίσωσης αυτής αν βάλλουμε n=19. Τότε 19*20=380. Αυτό σημαίνει ότι σε 19 καλάθια θα βάλουμε τα αυγά με τον τρόπο που περιγράψαμε:
1+2+3+…+19=190
αλλά θα μας περισσέψουν ακόμα 10 αυγά, τα οποία δεν μπορούμε με κανέναν τρόπο να τα τοποθετήσουμε σε καλάθια, γιατί θα υπάρχει κάποιο άλλο που θα έχει τον ίδιο αριθμό αυγών. Έτσι, τα τοποθετούμε π.χ. στο τελευταίο καλάθι και συνεπώς ο μέγιστος αριθμός καλαθιών είναι .