Κυριακή 17 Απριλίου 2011

▪ Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Το διαγώνισμα είναι 3ωρης διάρκειας και αφορά την ύλη από το Θεώρημα του Rolle και μετά. Δόθηκε στους μαθητές του σχολείου του συναδέλφου Νίκου Μαυρογιάννη, και ήταν αποτέλεσμα της συνεργασίας όλων των διδασκόντων του σχολείου. 
ZHTHMA 1
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f\left( x\right) =\frac{x^{3}}{x^{2}+1}}

1) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. (7 Μονάδες)

2) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα-κυρτά και να βρείτε τα σημεία καμπής της. (7 Μονάδες)

3) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f. (7 Μονάδες)
4) Να βρείτε για ποιά x ισχύει f(f(x))=x. (4 Μονάδες)
ZHTHMA 2
'Εστω \displaystyle{f\left( x\right) =\sqrt{x}-\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}} 
1) Nα μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. (9 Μονάδες)
2) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. (9 Μονάδες)
3) Nα βρείτε τον a>0 αν είναι γνωστό ότι για κάθε t \in \mathbb{R} o αριθμός \displaystyle{a^{t}-t} ανήκει στο σύνολο τιμών της f. (7 Μονάδες)
ZHTHMA 3
'Εστω η συνάρτηση 
\displaystyle{f\left( x\right) =\frac{1}{e}x+e\left( 1-x\right) -e^{1-2x}}
1) Να λύσετε την εξίσωση f^{\prime }\left( x\right) =0 (5 Μονάδες)
2) Να αποδείξετε ότι η f έχει μοναδικές ρίζες τους αριθμούς 0 και 1. (5 Μονάδες)
3) Να βρείτε το πρόσημο της f. (5 Μονάδες)
4) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο. (5 Μονάδες)
5 Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την \mathcal{C}_{f} και τον x'x. (5 Μονάδες)
ZHTHMA 4
'Εστω παραγωγισιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύει:
i) f(0)=1
ii) f^{\prime }\left( -x\right) \cdot f\left( x\right) =-x για κάθε x \in \mathbb{R}
1) Να αποδείξετε ότι 
α) f'(0)=0
β) H f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο \mathbb{R} (4+4 Μονάδες)
2) Θεωρούμε την συνάρτηση g\left( x\right) =\frac{f\left( -x\right) }{f\left( x\right) }
α) Να αποδείξετε ότι η g είναι σταθερή.
β) Να αποδείξετε ότι f\left( x\right) =\sqrt{x^{2}+1}. (4+4 Μονάδες)
3) 'Εστω h\left( x\right) =\int_{1}^{x}f\left( t\right) dt
α) Να βρείτε το \int_{0}^{1}h\left( x\right) dx
β) Να λύσετε την εξίσωση h(x)=h(2011)  (6+3 Μονάδες)
Για συζήτηση επί των θεμάτων κάντε κλικ εδώ.
Αναρτήθηκε από στις 17.4.11
Ετικέτες

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)